§ 4 Классификация потоков s-алгебр.
4.1. Пусть имеется стохастический базис 
.
Определение. Опциональной (предсказуемой) 
алгеброй, обозначается через 
называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида 
где 
— опциональный (предсказуемый) момент остановки.
Из определения следует следующее утверждение.
Теорема 19. 
.
4.2. Определение. Случайный процесс 
со значениями в 
называется опциональным (предсказуемым), если отображение 
измеримо относительно алгебры на 
.
Теорема 20. Предсказуемая алгебра 
порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.
Доказательство. Из теоремы 18 следует, что порождена всеми процессами вида 
, где 
и 
, где 
— любые опциональные марковские моменты, причём Р - п.
. Ясно, что эти процессы непрерывны слева и согласованы. Поэтому для доказательства теоремы достаточно доказать, что каждый непрерывный слева согласованный процесс является предсказуемым. Обозначим 
. Процесс 
- предсказуем и непрерывен слева и поэтому 
Р - п. н. Значит - предсказуемый процесс. Доказательство закончено. Теорема 21. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.
Доказательство. Опциональная алгебра 
порождена процессами вида , где - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.
Пусть - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа 
построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом: 
для всех 
, причём если это множество пустое, то полагаем, что 
.
- прогрессивно измерим, поэтому 
тоже прогрессивно измерим. Значит 
, где 
прогрессивно измерим. Заметим теперь, что 
- м. о., поэтому из непрерывности справа процесса получаем, что Р - п. н. 
на множестве 
(попутно заметим, что непрерывность слева эквивалентна тому, что 
для 
Р - п. н.). Обозначим для 
Процесс 
- опционален, поскольку он представляет собой сумму счётного числа опциональных процессов. Устремляя теперь 
получим, что из непрерывности справа 
Р - п. н., т. е. 
-опциональный процесс. Доказательство закончено. 4.3. Теорема 22. Если процесс - опционален, то множество 
- тонкое (для 
).
Доказательство. Пусть 
и по индукции определим 
Очевидно, что если 
, то для любых фиксированных 
. Ясно, что процесс 
- непрерывен справа и согласован, a 
- момент остановки. Заметим теперь, что множество 
Поэтому 
где 
также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса следует, что Р - п. н. 
при 
. Поэтому 
. Доказательство закончено.