§ 2. Измеримые пространства.

Примеры -алгебр:

1) =(0, ) – бедная алгебра,

2) ={A:A} - богатая алгебра,

3) ={A:, A, 0,} называют алгеброй, порожденной множеством А.

Вопрос: Когда алгебра А() будет являться алгеброй F?

Определение . Система М() подмножеств называется монотонным классом, если из того, что АМ() n=1,2,.. и , т.е. и следует, что М().

Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А() была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.

2.1. Измеримое пространство (R¹, B (R¹))

Пусть R¹=(-,] – действительная прямая и (a,b] = { R¹: } для всех . Обозначим через А(R¹) систему множеств в R¹, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b] : А(R¹), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А(R¹) , которая не является алгеброй, так как А(R¹), но А(R¹).

Определение. B (R¹) – наименьшая алгебра, порожденная А(R¹) называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.

Если обозначить через систему интервалов (a,b], а через - наименьшую алгебру содержащую .

Из каких элементов B (R¹)? Из предыдущих построений следует, что B (R¹) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i) ii) iii)

2.2. Измеримое пространство (Rⁿ,B (Rⁿ))

Пусть Rⁿ = RR…R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rⁿ : , а - его сторонами.

Через (Rⁿ) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rⁿ.

2.3. Измеримое пространство (R,B (R))

R- пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к-ой числовой прямой (то есть, множество B (R¹)). Рассмотрим множества :

i) R :};

ii) R :};

iii) B (R ) R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R), B₁(R), B₂(R), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

2.4. Измеримое пространство (R^Т , B (R^Т))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство R^Т – совокупность действительных функций на T со значениями в R¹, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим:, где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на R^Т, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B (R^Т).

Возникает вопрос: какова структура множества B (R^Т)? Оказывается, что любое множество B (R^Т) допускает представление , где B (R). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B (R^Т). Например: i)}, , ii) - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из R^Т по отношению к B (R^Т) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).

Пусть Т=[0,1], С[0,1] - пространство непрерывных функций x_t, t [0,1], со значениями в R¹. Очевидно, С[0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

1) ρ (х,у)=0x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.

2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).

D – пространство функций x_t , t [0,1], со значениями в R¹ , непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t[0,1]. В нем также можно ввести метрику:

ρ_s(x,y)inf {, где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.