§4. Две предельные теоремы теории очередей.
4.1. В данном пункте установим условия существования стационарного решения уравнения (17).
Определение. Пусть 
– решение уравнения (17), если для 
существует 
, обозначаемый 
, то его мы будем называть стационарным решением уравнения (17).
Для удобства формулировки следующего утверждения приведем условия (R):
1) 
для 
;
2) 
(попутно заметим, отношение 
называют коэффициентом нагрузки).
Обозначим 
.
Теорема 16. Пусть выполнены условия (R) и 
. Тогда решение уравнения (17) имеет вид 
для .
Доказательство. Рассмотрим пространство последовательностей 
, в нем введем норму:
.
Относительно этой нормы пространство последовательностей становится банаховым, которое мы обозначим через B. Очевидно, что 
, 
(для любого t).
, в силу условий (R), справедливо равенство 
. (26)
Перепишем уравнение (17) в интегральной форме
. (27)
(27) с учетом (26) можно представить в виде
Отсюда следует, что справедливо неравенство
.
Поэтому, в силу леммы Гронуолла – Беллмана, из последнего неравенства следует, что 
, т.е. 
– решение уравнения (17). Доказательство закончено.
3. Из теоремы 16 вытекает важное утверждение. Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 16. Тогда выходной поток 
является пуассоновским с интенсивностью 
.
Доказательство. Достаточно показать, что 
. Действительно, так как 
.
Отсюда, в силу свойства стохастических интегралов по мартингалу, имеющему ограниченную вариацию (теорема 23 главы 3), и теоремы Фубини, имеем
.
В силу условий теоремы для 
, поэтому 
. Стало быть, . Доказательство закончено.