§ 1. Аксиоматика Колмогорова.

Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:

а) , ;

б) ААА;

в) АА

Определение.

Конечно аддитивная мера называется конечной, если .

Определение. Тройка А,Р), где - некоторое множество, А- алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А, называется вероятностной моделью в широком смысле.

Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.

Определение. Система F- подмножеств множества называется алгеброй, если:

1) она является алгеброй,

2) , для то и .

Определение . с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (,F).

Определение . Конечно аддитивная мера задана на А называется счетно аддитивной (аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А₁, А₂, … из А таких, что А, следует, что

Счетно аддитивная мера на F называется конечной, если можно представить в виде где А с

Счетно аддитивная мера Р на алгебре А, удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А.

Приведем некоторые свойства вероятностных мер:

1)

2) если АРР РР.

3) если А и Р Р.

4) Если А n=1,2,.. и А Р. Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно. Доказательство свойства 4. Заметим, что , где при и , .Очевидно, что при и так как , то имеем .

Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?

Теорема 1. Пусть P - конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1.

1) P -аддитивна;

2) Р – непрерывна сверху (то есть, если =1,2,…,где А,

такие что и А, то ;

3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А, =1,2,… и А, то ;

4) Р – непрерывна в нуле (если А, =1,2,…, и O, то .

Определение. Тройка (, F, Р ) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества – событиями, где F - алгебра на , а Р(А) – вероятностью события А.