Вычисление радиуса сходимости.
Теорема. Если существует предел 
, то радиус сходимости ряда равен 
, то есть 
, причем считаем 
, если 
, и 
, если 
.
Доказательство.
Предположим, что 
, то есть рассмотрим числовой ряд 
, который является рядом абсолютных величин данного степенного ряда.
Тогда 
:
1. Пусть 
- конечное число, отличное от нуля, значит, 
. По радикальному признаку Коши ряд, составленный из абсолютных величин ряда, сходится при 
, отсюда следует, что 
. При 
и 
ряд расходится для всех значений 
.
В самом деле, если бы при 
, 
, ряд сходился, то по теореме Абеля для 
, где 
, он должен был бы сходиться, чего быть не может.
и расходится при и, значит, 
. 2. Пусть . Тогда 
при всяком значении , и ряд сходится для любого . Значит, ряд абсолютно сходится во всякой точке оси 
и .
3. Пусть . Тогда 
при всяком значении , 
, и значит, ряд не может сходиться ни при каком . На основании теоремы Абеля заключаем, что ряд во всех точках оси (кроме нулевой) расходится и .
Теорема. Если 
, то радиус сходимости ряда равен 
, то есть 
, причем мы считаем 
при 
и 
при 
.
Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и поэтому можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.
По признаку Даламбера:
Ряд сходится, если 
, отсюда радиус сходимости - 
.
По интегральному признаку Коши:
Ряд сходится, если 
, отсюда следует, что 
.
Пример. Найдите область сходимости рядов: 1) 
и 2) 
.
1) 
.
Интервал сходимости 
Исследуем граничные точки.
расходится;
- сходится условно по признаку
Лейбница.
Область сходимости ряда 
.
2) 
, ряд сходится при всех 
.