Теоремы сравнения положительных рядов.
Пусть даны два положительных ряда: 
и 
.
Теорема 1. Если выполняется неравенство: 
, начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.
Доказательство:
Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что 
Для частичных сумм этих рядов выполняется 
Пусть ряд 
сходится, тогда 
и тем более 
значит ряд 
- сходится.
Пусть 
расходится, тогда 
, значит 
и ряд 
расходится.
Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов 
, 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды
1) 
сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда 
, так как 
, исследуемый ряд расходится.
2) Ряд 
сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда 
есть 
, постоянное число.
3)
Сравним этот ряд с рядом 
, который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 
, следовательно, сходится.
Так как 
исследуемый ряд сходится.
4) Ряд 
сравним с рядом 
, который является расходящимся рядом. 
с учетом того, что 
.
Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:
1. 
2. 
3. 
4. 