Разложение функций в тригонометрические ряды.

Вопрос о возможности разложения функции в тригонометрический ряд сводится к следующему.

Какими свойствами должна обладать функция , чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился, и его сумма совпала с функцией ?

В отличие от степенных рядов, в которые разлагаются только функции, имеющие производные всех порядков, в тригонометрические ряды разлагаются почти любые функции.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье дает следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема Дирихле. Если функция с периодом ограничена и кусочно-монотонна на отрезке , то ряд Фурье, построенный для функции , сходится во всех точках этого интервала.

При этом:

1) сумма этого ряда равна в точках непрерывности функции ;

2) если точка является точкой разрыва , то сумма ряда Фурье .