Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .
Доказательство.
Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство .
Тогда данный ряд можно записать так:
В силу сделанного замечания можно записать ряд
, который образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Если , то , и прогрессия сходится. Если больший ряд сходится, то будет сходиться и данный ряд.
Теорема доказана.Следствие. Если степенной ряд расходится при значении , то ряд расходится при всяком значении , большем по абсолютной величине , .
Из теоремы Абеля и следствия из этой теоремы вытекает следующее предположение. Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , , ряд абсолютно сходится, а для значений , , ряд расходится.
Что касается значений или , то здесь возможны ситуации, когда ряд сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной.
Определение. Число такое, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится, называется радиусом сходимости ряда, а интервал называется интервалом сходимости.
Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке
Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке
-R cx. R x
расх 0 расх
В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования.
Можно указать правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.