Заключение
Основные результаты выносимые на защиту
На основе непрерывного вейвлет-преобразования сформулирована концепция многомасштабных случайных процессов как случайных функций на аффинной группе [13, 193].
Разработан итерационный способ решения сто-хастических дифференциальных уравнений, в том числе содержащих многомасштабные случайные процессы, основанный на непрерывном вейвлет- преобразовании. Этот способ применен к решению уравнения Ланжевена и его частного случая, уравнения Кардара-Паризи-Занга, описывающего динамику границы раздела фаз в флуктуирующей среде. Вычислена поправка к коэффициенту поверхностного натяжения, возникающая при действии масштабно-зависимой случайной силы [193].Показано, что два различных многомасштабных случайных процесса после обратного вейвлет-преобразования могут иметь совпадающие образы в пространстве процессов второго порядка. Данное свойство применено для построения многомасштабной процедуры стохастического квантования. По-казано, что использование многомасштабных случайных процессов в процедуре стохастического квантования для определенного вида случайной силы обеспечивает регуляризацию теории [15, 193, 196].
Метод итерационного решения стохастических дифференциальных уравнений применен для решения уравнения Навье-Стокса с масштабно-зависимой случайной силой. В однопетлевом приближении вычислены корреляционная функция и функция отклика. Показано, что математическая формулировка гипотез Колмогорова может быть наиболее адекватным образом дана именно в терминах многомасштабных случайных функций [195].
На основе непрерывного вейвлет-преобразования предложен метод построе-
195
ния квантовой теории поля непосредственно на аффинной группе. Построены упорядочение операторов и канонические коммутационные соотношения для многомасштабных квантовых полей [19, 194].
Предложен формализм квантования иерархических систем.
Построены гильбертово пространство состояний для иерархических систем и матрица плотности. Данный формализм может быть использован для описания процессов записи информации в квантовые иерархические структуры [16].Построено непрерывное вейвлет-преобразование над полем Qp как разложение по представлениям р-адической аффинной группы. Построен аналог дискретного вейвлет-преобразования с вейвлетом Хаара над полем Qp [8,17]. Предложен геометрический подход к р-адической квантовой теории поля, на основе которого выдвинуто предположение о том, что наблюдаемая анизотропия микроволнового реликтового излучения может быть следствием дискретной р-адической геометрии ранней Вселенной [20, 25,17].
Путем применения вейвлет-преобразования к кумулятивной мере, определенной для первичной структуры нуклеотидных последовательностей, обнаружен [24, 12] самоподобный характер распределения нуклеотидов, что подтверждает гипотезу Оно об иерархическом кодировании информации в первичной структуре ДНК, что подтверждается также наличием межмасштабных корреляций, обнаруженных в первичной структуре нуклеотидных последовательностей [22].
Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам и соавторам, с которыми обсуждались результаты данной диссертации. Среди них автор особо признателен Н.В.Антонову, Н.М.Астафьевой, Дж.Боуману, И.В.Воловичу, М.Гнатичу, В.Н.Горбачеву, И.М.Дремину, Н.С.Ерохину, С.В.Козыреву, В.А.Крылову, С.С.Моисееву, О.А.Морневу, Л.Ноталлю, Г.А.Ососкову, Р.В.Полозову, В.Б.Приезжеву, Б.Г.Сидхарту, О.Г.Чхетиани, Д.В.Ширкову, Е.В.Щепину, М.Юрчишину.