Введение
Многомасштабные разложения широко используются во всех разделах теоретической физики - везде, где решение физической задачи не сводится к моно-хроматической волне или к устойчивому стационарному решению.
В простейшем случае многомасштабность появляется уже в классической механике, когда решение системы гамильтоновых уравнений приводит к спектру из нескольких отличных друг от друга собственных частот. Для линейных систем это приводит к разложению решения в сумму гармонических компонент и(х) — для нелинейных систем взаимодействие гармонических компонент между собой приводит к сложным интерференционным эффектам и вызывает стохастическое поведение.При описании реальных физических, биологических, экономических и других систем с достаточно большим числом степеней свободы точное описание всех нелинейных взаимодействий, как правило, не возможно. Это приводит к необходимости перехода от детерминистического описания процессов с помощью диф-ференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) к описанию в рамках стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), в которых неизвестные взаимодействия системы с флуктуирующей средой и сложные нелинейные эффекты взаимодействия внутренних степеней свободы описываются с помощью случайных сил. Такое описание характерно как для классических нелинейных диссипативных систем - например, гидродинамической турбулентности, - так и для задач квантовой теории поля (КТП), в которых выполняется закон сохранения энергии, однако необходимость интегрирования по всем конечным квантовым состояниям, обусловленная вероятностной сущностью квантовой механики, приводит к эквивалентности квантовополевой задачи описанию некоторого слу-чайного процесса в пространстве большей размерности [127, 74, 226].
Простым, однако весьма специфическим случаем применения многомасштабного разложения является разложение в ряд Фурье, однако, его использование для нелинейных систем весьма ограниченно.
Разложение в ряд (или инте-9
грал) Фурье представляет собой разложение по представлениям группы сдвигов G : х = х + Ь, следовательно, его применение полностью оправдано лишь в случае, когда сама физическая система однородна, т.е. инвариантна относительно сдвигов. Во всех остальных случаях приходится применять различные дополни-тельные приемы: разложение по малому параметру, методы ренормализационной группы (РГ), вейвлет-разложение.
Одной из целей данной диссертационной работы является унификация много-масштабных методов, применяемых в стохастических задачах и теории поля, на общей основе. Этой основой служит разложение по представлениям аффинной группы
G\x = ax + b, x,beRd,aeR+®SO{d),
где d-размерность евклидова пространства, известное как непрерывное вейвлет- преобразование, или вейвлет-анализ.
Несмотря на огромное число статей и монографий посвященных применению вейвлет-преобразования к анализу сигналов и экспериментальных данных, численному решению дифференциальных уравнений и численному моделированию случайных процессов, использование вейвлет-преобразования для аналитического описания нелинейных систем и квантовополевых моделей пока не нашло широкого применения. В связи с этим, важное значение приобретает вопрос о связи вейвлет-методов с методами РГ, нашедшими самое широкое практическое применив в квантовополевых и нелинейных задачах, но часто подвергаемых со-мнениям, как не имеющих ясной физической основы, а представляющих лишь математический способ устранения расходимостей.
Работа построена по следующему плану. Глава 1 содержит краткий историче-ский обзор развития многомасштабных методов, связанных с вейвлетами. Здесь описаны основные идеи метода вейвлет-преобразования и физические задачи, в которых эти методы нашли успешное применение. Глава 2 посвящена связи между теорией случайных процессов и квантовой теорией поля. В главе 3 вводится понятие многомасштабного случайного процесса, обобщающее обычное понятие вейвлет-преобразования случайных процессов.
Параграф 3.3 этой главы посвящен применению многомасштабных случайных процессов для решения стоха-стических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа, в частности, их применению к задаче о динамике границы раздела фаз во флуктуирующей среде; в параграфе 3.4 многомасштабные методы решения стохастических уравнений применяются к стохастическому уравнению Навье-Стокса. В главе 4, на основе разработанной концепции многомасштабных случайных процессов, вводится многомасштабная процедура стохастического квантования, основанная на10 вейвлет-преобразовании. Глава 5 посвящена обобщению идей вейвлет-анализа на квантовые иерархические системы. В главе 6 исследуется возможность построе-ния евклидовой теории поля на аффинной группе, вместо обычно используемой группы трансляций. Показано, что при соответствующей зависимости константы связи от масштаба, являющегося координатой на аффинной группе, расходимости в такой теории не возникают. Глава 7 посвящена связи многомасштабной теории поля и дискретной геометрии, прежде всего р-адической, используемой в космологических моделях. Глава 8 посвящена некоторым приложениям непрерывного вейвлет-преобразования, опубликованным в работах автора, к анализу экспериментальных данных, имеющих тот или иной элемент случайности. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту. В Приложе-ние вынесены некоторые детали вычислений.