5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем

Геометрически мы знаем, что микросистема всегда находится внутри макросистемы. Так, электрон является частью атома, атом - частью молекулы, и т.д.. Это наводит на мысль о том, что для получения матрицы плотности микросистемы, вместо прямого усреднения по всем степеням свободы окружения, можно представить волновую функцию в иерархической форме, последовательно учитывая степени свободы тех макросистем, для которых исследуемая микросистема является частью.

{фА,{фАе1,...,фАеп,}}.

Здесь фА ~ волновая функция всего атома (макросистемы), обладающего полным моментом J, орбитальным моментом L, и полным спином S, т.е. зависящая

121

от характеристик не только электронной системы, но и ядра. Волновые функции атомных электронов флек, таким образом, отличны от волновых функций свободных электронов фек.

Теперь у нас есть достаточно элегантный способ получения информации о квантовых состояниях подсистемы путем усреднения лишь по заданной ветви иерархии, а не по всему окружению подсистемы. Например, состояние подсистемы АЦt изображенной на рис. 5.1, задается с помощью трех компонент волновой функции ("феї > Фс\Ві > ФСіВіАц)' Матрицу плотности этой системы можно получить усредняя ПО степеням свободы С\ И Ві, НО не В2-

Рис. 5.1: Структура бинарной иерархической системы. Для вычисления матрицы плотности подсистемы Ац требуется усреднение по состояниям подсистем В1 и Сі, НО не ПО СОСТОЯНИЯМ подсистем В2,А21,А22.

В общем случае, для описания состояния объекта Ai (взаимодействующего с объектами А2,..., Лдг), который является частью объекта Ви мы должны представить волновую функцию системы в виде (5.7)

У = {Фв1ЛФв1А1,---,Фв1А„}}, где фв1 ~ волновая функция целого (обозначенная как Ві), а фвіЛі являет-ся волновой функцией компоненты Ai, принадлежащей системе Bi.

натном представлении, принадлежат различным функциональным пространствам. Для индексирования иерархического объекта ( т.е. для введения на нем

122 дискретных координат), нам необходимо иерархическое дерево, подобное тому, что используется для описания биологической эволюции. Если система В состоит из к частей А\,... Ак, мы можем записать волновую функцию в виде [14,16]:

И = (5-8)

Выражение (5.8) конечно, и представляет собой аппроксимацию, не учитывающую эффекты окружения U\B. Ее можно рассматривать как некоторый вариант метода среднего поля: все эффекты связанные с влиянием окружения на подсистемы Ак учитываются только через влияние объекта В на свои подсистемы. Далее мы будем обозначать через ф волновую функцию микроуровня, а через в - волновую функцию макроуровня.

Такой формализм имеет, как минимум, два аспекта. Во-первых, если нам известны собственные вектора |Ф^),¦ • ¦ всех частей, взаимодействие между этими частями и внешние поля, мы, в принципе, должны иметь возможность построения системы функций \Qj). Но волновые функции всех составных частей никогда не могут быть известны одновременно, и более разумно искусственно ввести вектор состояния макроуровня \6j) и рассматривать взаимодействие между этим средним полем макроуровня и компонентами микроуровня.

Во-вторых, как хорошо известно, например в биологии, влияние внешних полей на компоненты клетки сильно зависит от состояния всей клетки. Это например относится к влиянию малых доз ионизирующего излучения. Таким образом, мы сталкиваемся с типичной проблемой теории управления - задача управления микроуровнем путем воздействия только на степени свободы макроуровня.

Пусть А - оператор действующий на микроуровне системы состоящей из к частей.

м>=ш¦ ¦ ¦ (ФІМФН),• • ¦.іФІМ)=pu', (5.9)

где жирный шрифт І = (г'і,. . ., Ік), |І) = \Фіх), • • •, \Фік) используется для мульти- индексов состояний микроуровня.

Если оператор А = А\ действует только на первую подсистему микроуровня (г'і), матрица плотности этой подсистемы получается усреднением полной матрицы плотности по степеням свободы остальных (г2,..., ік) подсистем микроуровня и степеням свободы макроуровня

Е C%^CL V (5-Ю)

123

По аналогии с управляемыми квантовыми гейтами, используемыми в алгоритмах квантовых вычислений, мы можем ввести операторы, действие которых на микроуровне зависит от состояния макроуровня [16]:

в = \і)ютотШ (би)

Среднее значение соответствующей наблюдаемой в двухуровневой иерархической системе равно

(В) = (ФШ = ^С*{ВЪС{, (5.12)

Рассмотрим систему двух фермионов со спином 1/2. Система из двух таких частиц имеет три возможных состояния, соответствующие проекциям спина Sz = О, +1, -1. Соответственно, микросистема (например, кварк в мезоне) находится в суперпозиции состояний с проекциями спина +\ и а иерархическая волновая функция имеет вид:

|Ф) = C++I Т)| Т) + С+о| Т>| -») + C--11)11) +С.0І 1)1 -). (5.13)

Никакие другие члены в сумму (5.13) не входят: система с полным спином 1, состоящая из двух фермионов, не может иметь проекцию спина Sz = 1, в то время как составляющие ее фермионы имеют противоположно направленные спины. Учитывая симметрию между направлениями вверх и вниз, получим:

|с++| = |с—I = Си |с+0| = |с_о| = Со. Матрица плотности для микросистемы равна

'-(^Л)- (5-14>

След иерархической матрицы плотности, как и следует, равен единице Тг(р) = 2(cf += 1, что соответствует нормировке иерархического состояния (5.13) (Ф|Ф) = 1. Таким образом, осуществляя измерение состояния макросистемы с помощью проекционного оператора, можно получить некоторую информацию о микросистемах не изменяя их волновых функций. Так, если мезон найден в состоянии | f), применив проекционный оператор Р| = | |)(Т | к его волновой функции, можно получить информацию о том, что оба кварка, составляющие данный мезон имеют проекции спина sz = если же мезон найден в состоянии с нулевой проекцией спина, можно лишь утверждать, что составляющие его кварки имеют противоположные проекции спина.

124 Принцип Паули Иерархическое представление волновых функций дает простое решение вопроса о том, могут или нет два электрона, принадлежащих макроскопически различным объектам, находиться в одинаковых состояниях. По построению, иерархические волновые функции двух электронов, принадлежащих двум различным макросистемам, несут метки этих макросистем, т.е. зависят от степеней свободы этих макросистем, и таким образом состояния этих электронов являются различными. Фактически, решение данной проблемы было указано уже Р.Пайерлсом [143], который подчеркивал, что само определение квантового состояния уже включает в себя координаты и, следовательно, два электрона, принадлежащие различным объектам, по определению находятся в различных состояниях.

Более формально, мы можем считать, что два фермиона, принадлежащие одной и той же макросистеме следующего уровня иерархии, не могут имет совпадающие квантовые числа, в то время как микросистемы принадлежащие раз-личным макросистемам следующего уровня иерархии могут. Например, микросистемы АЦ И Л12, показанные на рис. 5.1, если они являются фермионами, не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии; в то время как Ац может находиться в том же состоянии что И АЦ.

Заметим, что даже для сравнительно небольших молекул при численном решении уравнений Хартри-Фока в задачах квантовой химии, вместо полной антисимметризации атомных орбиталей всех электронов в молекуле

% = -$=det(xi ¦ ¦ ¦ Хп)

v п\

производится частичная антисимметризация лишь по электронам внешних орбиталей. Такой подход позволяет вполне адекватно описывать процесс распада молекулы на отдельные атомы, что практически используется в прикладных па-кетах для квантовой химии [85].

Гильбертово пространство иерархических состояний Компоненты волновой функции, принадлежащие различным уровням иерархии могут иметь су-щественно различную природу: иметь различные значения спина, изоспина, цветового индекса и, следовательно, принадлежать различным пространствам.

Фі> Фг є п, а, Ь Є С => Ф = аФі + ЬФ2 Є Н.

125

Если

Ф1 = {Фв1,{Фв1А1,--.,Фв1Аы},--.}, = {tl>Di,bl>DiCi,---,ll>DiCN },•••},

то их линейная комбинация

Ф = аФ!+ЬФ2 = {афв1+Ьфо1ЛаФв1А1+Ьфп1с1,...,афв1Аы+Ьфо1ск},'--} (5-15)

также принадлежит Ті. Скалярное произведение иерархических векторов состояния определяется покомпонентно:

n

<Фі|Ф2} = ШФвг) + YM^IhCi) + • • • • (5.16)

t=l

Норма вектора в пространстве иерархических состояний, определяемая через скалярное произведение, есть сумма норм всех компонент иерархии:

n

ЦФ||2 = (*і|Фі) = (ФвііФВІ) + ^(Фв^ІФ ВгАі) + ¦¦¦¦ (5.17)

і=1

Процедура вторичного квантования также естественным образом определяется в пространстве иерархических состояний. Если В есть макросистема, которая включает в себя микросистемы А\,..., AN, ТО операторы рождения и уничтоже-ния действуют в пространстве иерархических состояний следующим образом:

а+(В)|0) = \В),а(В)\В) = |0),а(В)|0) = 0|0), а+Ш\В) = {\В),\ВА()},а(Ад{\В),\ВА>)} = | В)

а(В)\ВА{) = \А{).

Принимая во внимание, что макросистема геометрически больше чем входящие в нее микросистемы, и, следовательно, переход от микросистемы к ма-кросистеме представляет собой процесс огрубления (coarse-graining), легко увидеть аналогию между рассмотренными ранее многомасштабными функциями и иерархическими векторами состояния с нормой (5.17). Так, разложение скалярного поля ф(х) € L2(Rd) по масштабным компонентам

Фа(Ь) = J ^Ф Ф(*)**> 126 осуществляемое с помощью вейвлет-преобразования

\ 1 f 1 і (х-Ь\ , ,lSdaddb ,r,n.

имеет норму

,daddb

вполне аналогичную норме (5.17).