Вейвлет анализ пего приложения в сочетании с нейронными сетями.
Традиционно используемое для анализа сигналов преобразование Фурье обладает существенным недостатком: базисные функции такого разложения - множество синусов и косинусов различных частот, которые отличны от нуля на всей числовой прямой.
Это приводит к двум основным недостаткам при анализе сигналов:для получения информации даже об одной частоте требуется вся временная информация, т.е даже будущее поведение сигнала должно быть заранее известно.
большинство реальных сигналов нестационарно и пики во временной области сигнала дают вклад во всю частотную область.
(5)
Cv = 2я < оо, где у/(т) - Фурье преобразование вейвлет функции.
Базис такого преобразования, как было отмечено, конструируется из функций ограниченных как во временной так и в частотной области,
58
Способ решения данной проблемы - переход к разложению сигнала по другому базису, функции которого должны быть конечны как во временной так и в частотной области. Преобразование такого вида называют вейвлет- преобразованием. Преобразование функции
*
причем эти функции получаются путем растяжения (сжатия) и сдвига из одной функции, которая называется материнским вейвлетом. Таким образом, если к примеру нестационарный сигнал содержит разрыв частоты, то подобное разложение не только позволяет определить его наличие, но и указывает место на временной шкале, где он произошел. Существует много разных вейвлетов, но в нашей практике мы чаще употребляем так называемые Гауссовы вейвлеты, которые являются кратными производными функции Гаусса. Возможности вейвлет-фильтрации сигнала сложной комбинированной формы наглядно демонстрируется на рис.9-13. Исходный сигнал, изображенный на рис.9., состоит из комбинации низкочастотных колебаний с локальным
Рис.9. Исходный сигнал. РисЛО. Зашумленный сигнал
высокочастотным пакетом. На рис.10 показан результат зашумления этого сигнала гауссовым шумом с 20%-й амплитудой.
Двумерный вей влет-спектр результирующего сигнала при применения гауссового вейвлета g2 показан на рис.11. Большие по значению вейвлет-коэффициенты изображены точками большей светлости, меньшие - более темными. Рис.11 Вейвлет-спектр сигнала с рис.10. По вертикали отложен масштаб (частота), по горизонтали - временной сдвиг. Горизонтальные линии отмечают хорошо различимые области шумовых колебаний (внизу) в средней области виден высокочастотный пакет, а выше - низкочастотная составляющая сигнала. Используя частоты, можно легко разделить вейвлет-спектр на шумовую, и низкочастотную части, а применив дополнительно пороговое обрезание по амплитудам пикселей, можно выделить ту часть которая порождена высокочастотным пакетом. Выполняя обратное преобразование, мы осуществим фильтрацию исходного сигнала, представленного на рис.10, от шумов и отделение низкочастотной части сигнала от высокочастотного пакета (см. рис.15.).
Рис.12 Результат разделения составляющих сигнала. Отметим, что Фурье-анализ этого примера не позволил бы локализовать границы высокочастотного пакета, а выдал бы только сведения о его частоте.