6.2 Теория ф1 .

(6.2)

Біф] = j ddx\{d^f в rf-мерном евклидовом пространстве.

С другой стороны, теория квантового поля в евклидовом пространстве эквивалентна теории классического флуктуирующего поля, флуктуации которого описываются вероятностной мерой VP = е~^Т)ф. В этом случае квадрат массы играет роль отклонения от критической температуры т2 = \Т — Тс|, а константа связи Л определяет интенсивность нелинейного взаимодействия флуктуаций. В каком-то смысле, можно сказать, что теория ф4 описывает фазовый переход второго рода, происходящий при нулевом внешнем поле в системе с одноком- понетным параметром порядка ф = ф(х) и симметрией относительно инверсии ф->-ф.

Функции Грина (корреляционные функции евклидовой теории поля) 1

8п

WE[J] (6.3)

Gm(x 1,... хп) = ІФ{х і)... ф(хт)) =

j=о

WE[J] SJ(Xl)...SJ(xm) могут быть получены как вариационные производные производящего функционала теории поля (6.4)

WE[J] = Я J Эф ехр -ЭДх)] + J ddxJ(x^{x) (Формальная константа нормировки Af, связанная с функциональной мерой Т>ф в функциональном интеграле, в дальнейшем опускается.)

Непосредственный способ вычисления m-точечных функций Грина Gm состоит в факторизации потенциала взаимодействия У(ф) в производящем функционале (6.4) в виде (6.5)

WE[J\ = ехр

ВД

-'(Ш

132 где

W0[J] = J Т>фехр (jф - = exp ^-i JD"1 J^ , D = -d2 + m2, (6.6)

представляет собой производящий функционал свободных полей. Теория возмущений, вытекающая из этой факторизации, обычно строится в импульсном пространстве, где свободный пропагатор имеет наиболее простой вид

Вычисление функций Грина в пространстве размерности d>2 измерений, начиная с однопетлевого члена, приводит к ультрафиолетовым расходимостям

'•«--ї/Йто (6'7)

Теория фА является перенормируемой - возникающие УФ расходимости могут быть устранены путем мультипликативной перенормировки полей и параметров модели

Ф = ЯфФя, А0 = A m2eZx, m2 = m2Zm. (6.8)

Все расходимости при этом адсорбируются в бесконечные константы перенормировки гф, Z\, zm.

Технически устранение расходимостей связано с вычислением петлевых интегралов вида (6.7) в сферической области импульсного пространства, ограниченной максимальным импульсом = А, с последующей заменой Ао на бегущую константу связи А = А(Л). В случае теории ф* в (d = 4 — е)-измерениях перенор-мировка, как было показано Вильсоном [184], в пределе бесконечного импульса обрезания Л —> оо, приводит к степенному (скейлинговому) поведению констан-ты связи

А (Л) = А0Л?. (6.9)

Аналогичное скейлинговое поведение в моделях с взаимодействием четвертой степени наблюдается и для полей не являющихся скалярами, например для взаимодействия четырех фермионов Єо(фф)2.

Если мы считаем, что получаемая с помощью метода РГ степенная зависимость константы связи от масштаба а — А-1 действительно отражает физику исследуемых явлений, а не является результатом математического трюка, мы

133

должны найти способ включить эту зависимость в теорию уже на стадии построения модели, а не на стадии устранения возникающих расходимостей. Чтобы сделать это, обратимся к простейшей модели скалярного поля с взаимодействием ф4 в евклидовом пространстве

= kj Ф(хі)В(х1,х2)ф{х2)йх1йх2 /g

+ І. ІУ(хих2,хз,Х4)ф(хі)ф(х2)ф(хз^(xi)dxidx2dxzdx4,. '

Используя обозначения

Щд)\Ф) = М), ШФ) = Ф(9), (giMD\92A) = D(gug2\

можно переписать производящий функционал (6.4) скалярной теории поля с действием (6.10) в виде

ZG[J] = /РФ(д)ехр(-і/сФ(ді)0(ді,92)Ф(д2Ш9і№(92)

~ 4! Ig У(ЗІ>92, дз, д4Жді)ФШФ(дз)Ф(д4№(ді)гіц(д2№іі(дз№(д4) +

t ІС У(9и9г,дз, 04

УіяШАМ),

(6.11)

где V(gi,g2,g3,gi) обозначает результат применения вейвлет-преобразования

Ф(д) ¦= I и(д)ф[х)ф(х)<іх

к четырехточечному потенциалу У(хі,х2,хз,х4) по каждому из аргументов х\, х2, хз, Х4. Для конкретного случая, когда группой Ли используемой в (6.11) является аффинная группа G : х' = ах + b, нетрудно получить выражения для пропагатора свободных полей и теорию возмущений. Используя координатное представление

фа(Ь) = j Ф{*) = С? / ^/2Ф Фа(Ь)^,

(6.12)

после несложных алгебраических преобразований, получим выражения для матричных элементов пропагатора

(аиЪх-,фЩа2,Ъ2\Ф) = jdlix(aia2)~*ip &Ф

ddk

134 Подразумевая однородность свободных полей по пространственным координатам, т.е.

D(aua2,k) = adJ2 ф(ахк){к2 + т2)а2/2ф{а2к),

1

D~l{a,i,a2,k) = af^k) аТФ(а2к), (6.13) ddk da

d+1'

(2ir)d а

of/Да, к) = Нетрудно видеть, что построение теории возмущений и диаграммной техники на основании изложенного выше будет отличаться от обычной техники лишь наличием дополнительного "вейвлетного" члена а^2ф(ак) на каждой линии и интегрированием по мере d[i(a, к) вместо обычной меры -^щз-

Что касается лоренц-инвариантности теории, основанной на аффинной группе (в нашем случае - инвариантности относительно вращений евклидова пространства), то введение новой масштабной переменной фактически означает, что вместо одного скалярного поля ф(х), мы теперь имеем дело с набором полей, проиндексированных масштабом {фа{х)}аш, для каждого фиксированного значения а, инвариантность по отношению к вращениям и трансляциям, естественно, остается. Такая простая ситуация сохраняется лишь в том случае, если мы подразумеваем эквивалентность квантования и функционального интегрирования, что справедливо в пространстве с-значных функций. В пространстве же опе- раторнозначных функций возникает проблема с определением коммутационных соотношений [фаі{х),фаї{у)], которая в общем случае не решена [58]. Частное решение проблемы установления коммутационных соотношений предложено ав-тором данной диссертации [19], см. (6.25) на стр. 139.

Возвращаясь к координатному представлению (6.12), где а - масштаб, и принимая во внимание степенной закон (6.9), полученный путем разложения Виль-сона, мы можем определить модель типа ф4 на аффинной группе с явной степенной зависимостью константы связи от масштаба. В простейшем случае потенциал взаимодействия в такой модели имеет вид

Fint = / Ь), A(fl) ~ а". (6.14)

Однопетлевой вклад в функцию Грина G2 в теории с потенциалом взаимодействия (6.14) может быть легко вычислен (для изотропного базисного вейвлета

135

ip(k) = 4>(k)\ в противном случае значение константы будет другим) путем интегрирования по скалярной переменной z = ак: )(2 ddk da (y) f

(2тг)dad+x * J (

= J im^-'dk,

і

(6.15)

/•gVl^afc)!2 rfg _ м Г 1 >

і a

где

J к2 + т2 (2n)dad+1 ~ ф J (2ir)dк2 + m2, Таким образом, для v> d—2 ультрафиолетовые расходимости отсутствуют.

В следующих порядках теории возмущений, каждая вершина взаимодействия даст вклад пропорциональный k~v в формальный индекс расходимости каждой диаграммы. Это сразу же вытекает из анализа размерностей, поскольку а - "масштаб" (ширина окна), а к - "обратный масштаб". Таким образом, для теории с взаимодействием фы в d измерениях диаграмма с Е внешними линиями и V вершинами будет иметь формальный индекс расходимости равный (6.16)

D -d+ Е С физической точки зрения, степенная зависимость константы связи от масштаба A(a) = а" не вполне реалистична. Она соответствует некому режиму асимптотической свободы, когда константа связи степенным образом увеличивается с увеличением масштаба. Более реалистичной представляется ситуация, когда носитель константы связи ограничен определенным интервалом масштабов, т.е. когда А асимптотически стремится к нулю вне этого интервала. Важным представляется физический смысл определения теории поля на аффинной группе. Формулируя теорию на аффинной группе, а не на группе трансляций (= в евклидовом пространстве), мы приобретаем два независимых параметра: координату Ь и разрешение а. Первый присутствует в любой полевой модели, последний нет. В чем-то наша модель может рассматриваться как непрерывный аналог решеточной теории, за тем исключением, что масштаб - шаг решетки, теперь рассматривается как физический параметр, и отсутствует необходимость устремлять его к нулю в окончательном результате: вместо этого мы одновременно рассматривает совокупность решеток всех возможных масштабов.

136

Проиллюстрируем отсутствие расходимостей в теории масштабно-зависимых полей на простом примере евклидовой теории поля. Функция Грина свободного скалярного поля

сингулярна при b -+ 0. Для масштабно-зависисых полей фа(х) функция Грина

не имеет сингулярности при Ь\ = Ь2 в силу локализации в импульсном пространстве вейвлета ф{ак), удовлетворяющего условию нормировки (1.15). Действительно, возьмем в качестве базисного вейвлета производную гауссиана (3.95)

фп{к) = (2jr)*(-tfc)ne-Ј,

тогда

Gf К 02,0) = Sd{aia2ri Г J^e-t^lP,

Jo /С "Г ш

где Sd = 2nd/2/r(d/2) - площадь единичной сферы в d измерениях.

ai = ati/m, к = кт,

получим

G?\alta2,0) = Ц(аіа2ГІ (6.17)

ТП Jo /С т 1

77Г

s2 = а2 + а\.

Таким образом, для любых конечных масштабов и а2 и совпадающих аргументов 6i = b2 свободная функция Грина G2\ai,a2, bx - b2) конечна - бесконечность появляется при суммировании всех масштабов, включая бесконечно малые. Такой результат вполне естественен: ведь измерение на бесконечно малом масштабе требует бесконечно большой энергии.

137

Для любых ненулевых масштабов ai и а2 интеграл в правой части (6.17), очевидно, конечен. Возьмем для определенности четырехмерное пространство и "мексиканскую шляпу" в качестве базисного вейвлета, d = 4, п = 2. Для этих значений имеем

Вычисления в следующих порядках теории возмущений проводятся аналогичным образом, но используют упорядочение операторов по масштабам, предложенное в работе [194]: ' А{х,Ах)В(у,Ау) уо<хо

Т{А(х,Ах)В(у,Ау))=<

(6.18)

±В(у,Ау)А{х, Ах) хо<уо

А(х, Ах)В(у, Ay) Ау > Ах, у0 = х0

k ±В(у, Ау)А(х, Ах) Ау < Ах, х0 = у0.