4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений
Рассмотрим итерационное решение уравнения Ланжевена (4.1) для конкретных моделей, возникающих в квантовой теории поля. Начнем с теории поля с кубическим самодействием в cf-мерном евклидовом пространстве.
$3-Теория является наиболее простой квантовополевой моделью, вместе с тем, имеющей конкретные физические приложения, как в физике высоких энергий, так и в физике конденсированного состояния. Действие 3-модели имеет вид: ddx(4.10)
= J Соответствующее уравнение Ланжевена для (d + 1)-мерной стохастической теории, как это следует из формулы стохастического квантования (4.1), запишется в виде
ЩїА-^-.^ф + ї.ф^ф^ (4.11)
где г] - гауссов белый шум (4.2):
(ф, т)ф', т')> = a26d(x - х'Щт - т').
106
Используя преобразование Фурье
ф{к,т) = J й*хеікхф{х,т)
и применяя к уравнению (4.11) описанную в 3.3 итерационную технику решения стохастических дифференциальных уравнений, приходим к уравнению
{дт + + т2)ф(к)Т) = J **0ф(р,т)ф(д,т)5(к -p-q). (4.12)
Решение уравнения (4.12) отличается от рассмотренного ранее итерационного решения уравнения КПЗ (3.35) лишь видом запаздывающей функции Грина и отсутствием импульса (к V) в вершине взаимодействия.
Запаздывающая функция Грина, являющаяся решением уравнения для свободных полей (Л = 0) в теории массивного скалярного поля (4.11), удовлетворяет уравнению
с граничным условием G(k, т < 0) = 0, и имеет вид
G(k,t) = e^k4m2)te(r). (4.13)
Это приводит к решению уравнения Ланжевена для свободных полей
/
оо
dsG(k, т - s)r)(k, s) + c е-{кЧт2)т,
оо
в котором константа интегрирования с определяется начальными условиями.
Дальнейшее итерационное решение уравнения Ланжевена (4.12) полностью аналогично рассмотренному ранее уравнению КПЗ (3.35) и может быть записано в интегральном виде
ф(к,т) = ? J ^ф(р,т)ф(д,т)5(к-р-д)]. (4.14)
В символической форме выражение для решения ф{к,т), получаемое в виде швингеровского ряда, будет таким:
107
Рис.
4.1: Стохастические диаграммы для теории ф3.(Ф) = < + ...
Таким образом, диаграммная техника для стохастического квантования ев-клидовой полевой модели с действием SE[$\ идентична обычной диаграммной технике Фейнмана для той же модели, за тем исключением, что каждой диа-грамме исходной теории соответствует сумма целой серии стохастических диаграмм, отличающихся друг от друга усреднениями по парным корреляторам шума, вставленным в различные линии исходной не-стохастической диаграммы. Естественно, что в пределе термодинамического равновесия т —> 0, сумма серии стохастических диаграмм должна давать тот же вклад, что и соответствующая диаграмма в обычной теории.
В нулевом порядке теории возмущений, для парного коррелятора стохасти-
108
ческих полей (первая диаграмма в разложении (фф) на рис. 4.1) имеем: Со{Кт,т') = (ф(к,т)ф(к,т%
= Г ds Ґ W)(r'-S') s)T]{k,} gl))
Jo Jo
/•min(r,r')
= [2n)d2a25d{k + k') / dse-(fe2+m2)(r+r'-2a)
Jo
= ff2(2ir)d5d{k + k/) г _1т_т,|(к2+т2) _ e_(T+r-)(fc2+m2)-|^ k2 + m2 '
При совпадающих "временах" (г = т') нулевой вклад в парную корреляционную функцию приобретает вид
С0(к, г, г') = a^)df(k + k') _ e_2T(fe2+^)] f (4Л5)
К -р ТП,
так что, в пределе термодинамического равновесия, т—>оо, имеем
lim (ф{к,т)ф{к,т)) = а 2
т-оо + ш
Для удобства перехода к термодинамическому пределу обычно все вычисления в стохастической теории возмущений выполняются в пространстве фурье-образов. В этом случае стохастическая функция Грина свободных полей имеет вид
ад(4-16>
Как мы знаем, стохастические процессы часто обладают самоподобием. Процедура перенормировки, используемая для устранения расходимостей в квантовой теории поля, также связана с самоподобием. Таким образом, представляется вполне естественным совместить процедуру стохастического квантования, направленную на устранение расходимостей, и вейвлет-разложение случайных процессов, тесно связанное со свойствами самоподобия. В следующих парагра-фах мы рассмотрим применение вейвлет преобразования к процедуре стохастического квантования Паризи и By [140], что обеспечивает стохастическую регуляризацию и не требует введения в теорию дополнительных вершин.