2.2 Случайные процессы и СДУ
Некоторые понятия теории вероятности Кратко напомним основные понятия, связанные с теорией случайных процессов. Вероятностное пространство - это тройка (fl,U, ц), где Г2 - множество, Ы - заданная сг-алгебра подмножеств множества 17, а /І - мера на ГІ, нормированная на единицу /х(Гі) = 1.
Случайная величина -это измеримое отображение вероятностного пространства (Q.,U,/і) в измеримое пространство (X, X) или, другими словами, измеримая функция на Q. Случайный процесс - это семейство случайных величин, зависящих от некоторого параметра t, принимающего значение на произвольном множестве, обычно называемым индексным множеством; другими словами, случайный процесс есть отображение индексного множества в пространство измеримых функций на О. В физических приложениях индекс t часто имеет смысл времени и принимает значения на вещественной оси R. В обозначениях случайного процесса индексный параметр часто указывается в виде индекса у случайной величины 1Распределение случайной величины определенной на Г2, это вероятностная мера на вещественной оси R, которая на борелевских множествах В Є R принимает значения равные мере их прообразов в П:
Л*(В) = КГ'т = є пш є в}. (2.1)
Траекторией (выборочной реализацией) случайного процесса Јt(u>) называют - уже не случайную - функцию Јt(o>o), где щ Є SI - фиксированное событие.
Условной вероятностью события А, при условии, что событие В произошло, называют величину
= А,Вєи,ц(В)ї 0. (2.2)
Математическим ожиданием величины А, зависящей от случайной величины называют значение интеграла
(А)с= f \nt{d\)= f Х(ш)ц(<Ь)= f Xdy. = ЕА, (2.3)
Jr Jn J
если интеграл существует. При этом дифференциал вероятностной меры принято также называть плотностью вероятности. Нижний индекс у угловых скобок мы используем для обозначения усреднения по реализациям случайной величины
или случайного процесса. Аналогично (2.3) определяются и другие моменты случайной величины:
(АП)? = J X dpi, n > 0.
Наиболее важным из них является дисперсия
DA = У"(А-ЕА)2^. (2.4)
Фурье-образ вероятностной меры
Ф(г) = [ e^(d\) = (е*\ (2.5)
J R
называют характеристическим функционалом (ХФ) случайной величины f. Любой момент случайной величины может быть получен путем дифференцирования характеристического функционала: <А"> - шт
(2.6)
1=0 Вероятность попадания случайной величины ? в полубесконечный интервал -оо < f < z может быть формально представлена в виде интеграла
P(z) = Г 6{z - = (Ф - (2.7)
J-оо
а плотность вероятности p(z) = P'(z), соответственно, определяется производной от выражения (2.7):
/
оо
Ф - = <Ф - 0>с. (2-8)
•оо
Величину — ?) принято называть индикаторной функцией случайной величины Если рассматривается не случайная величина, а случайный процесс, то индикаторной функцией принято называть величину
С п p(zi(ti),...,zn(tn))= / = (2.10) 31
Если а < ti < ... < tn < Ь представляет собой разбиение временного интервала [а, 6), то в непрерывном пределе max (f j+1 — ti) —> 0, n —» oo 0
принято называть мерой функционального интегрирования, а сам интеграл - функциональным х. В терминах функционального интеграла, путем взятия бесконечного произведения, обобщаются понятия индикаторной функции (2.9) и характеристического функционала (2.5). В последнем случае мы получаем функционал, зависящий от функционального аргумента, по которому производится функциональное дифференцирование
(2.11)
Используя (2.11), можно определить гауссовы случайные процессы, как процессы, ХФ которых имеет вид
B(tta) = (tm*)h№) = 0 (2.12)
Одним из наиболее важных в физических приложениях случайных процессов является винеровский случайный процесс, представляющий собой математическую идеализацию броуновского движения микрочастиц, когда приращения координаты частицы в различные моменты времени никак не связаны между собой. 1. Для любых t0 2. Случайная величина ut — us>s 3. Траектории ut непрерывны. Второе из свойств винеровского процесса означает, что среднеквадратичное смещение винеровской частицы пропорционально Vcft, а не dt, как это имеет место для дифференцируемых процессов, описывающих эволюцию классических динамических систем. В этой связи отметим, что понятие непрерывности, используемое в дифференциальной геометрии, непосредственно не переносится на случайные процессы, приращение которых пропорционально не первой, а другой степени приращения аргумента. Непрерывность случайного процесса должна быть определена в терминах вероятностной меры. Различают несколько типов непрерывности: случайный процесс непрерывен в среднем квадратичном, если ШпЕК,-б|2 = 0; 5—*t случайный процесс непрерывен по вероятности, если Vf, Ve > О limP[|&-6|>Ј] = 0; s—Н случайный процесс непрерывен по почти наверное, если Ш Р( {Уии = би}) = 1. Классическая механика В классической механике траектория динамической системы может быть определена путем интегрирования уравнений движения, если известны все обобщенные координаты q и скорости q в начальный момент времени t = to. Траектория q = q(t), являющаяся решением уравнений движения, реализует минимум функционала действия S[q}= Г L(q,q, t)dt, (2.13) Jti 33
где L(q, q, t) - функция Лагранжа. Варьирование действия (Щ = 0) приводит к лагранжевой форме уравнений движения d dL dL „ лаГаТ0" (2Д4) Решение уравнений Лагранжа (2.14) q = q(t), с начальными условиями q(Q) = qo,q(0) = VQ, определяет непрерывную и дифференцируемую траекторию, на которой функционал действия (2.13) минимален. Если, в силу сложности физической задачи, не существует явного способа построить функцию Лагранжа для исследуемой динамической системы, используют различные ad hoc приемы и записывают уравнения движения в виде q = f(q,q,t). (2.15) Если функция Лагранжа, или, соответственно, обобщенная сила f(q, q, t), не зависит явно от времени, а зависит лишь от координат и скоростей самой системы, динамическая система называется автономной. В практически важном случае замкнутых систем, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени f, эволюцию динамической системы удобно описывать в терминах гамильтоновых переменных - обобщенных координат q и импульсов р. Переход к гамильтонову описанию осуществляется с помощью преобразования Лежандра H{q,p,t) = Y,Vi В новых переменных эволюция динамической системы определяется уравнениями Гамильтона дн • дН = Рі = ~~дїі (2Л7) с начальными условиями q(to) = qa,p(to) = Ро, и представляет собой движение точки в 2п фазовом пространстве с координатами (quPi),i = 1,...,п, где п - размерность системы. Эволюция произвольной наблюдаемой, зависящей от точки фазового пространства Bt(q,p) — B(q(t),p(t)) определяется оператором Лиувилля Dh- = (,18> Уравнение Лиувилля (2.18) допускает формальное решение Bt(q,p)=(e^D»B)(q,p). (2.19) 34 В отличие от динамических систем общего вида (2.15), эволюция гамильто- новых систем (2.17), сохраняет объем в фазовом пространстве д^ущі) = область фазового пространства XQ, произвольным образом выбранная в момент времени to, под действием оператора Лиувилля переходит за время t — to в область Xt, имеющую тот же самый фазовый объем - меру Лиувилля М*о)=/ dfi= f d/i = /i(Aо), Если динамическая система в момент времени to находилась в области X фазового пространства, то вероятность ее попадания в область В в момент времени t есть P{B,t\Xb,k) = n{BnXt) P(Xo,to) ц(Хо) ¦ } Таким образом, классическое описание динамических систем, в частности га- мильтоновых систем, может быть сведено к описанию измеримых функций на фазовом пространстве, что является задачей функционального анализа. Стохастические дифференциальные уравнения Реальные физические системы всегда взаимодействуют с внешним окружением, они, следовательно, не могут быть автономны, и их эволюция зависит от внешних степеней свободы, не относящихся к динамической системе. В простейшем, хотя и не столь часто встречающемся, случае зависимость от внешних степеней свободы может быть реализована в виде явной зависимости функции Лагранжа от времени. <7 = /(?,..., О- (2-22) Поскольку эволюция внешних по отношению к системе степеней свободы в общем случае не известна, мы приходим к системе уравнений параметрически зависящих от случайных величин или процессов Решения построенных таким образом уравнений (2.22), следовательно, тоже будут случайны. Уравнения, содержащие зависимость от случайных процессов и параметров называют стоха-стическими дифференциальными уравнениями (СДУ). Правая часть СДУ (2.22) может быть представлена в виде суммы регулярной части и члена, зависящего от случайного процесса. В простейшем случае мы имеем дело с мультипликативной зависимостью от случайного процесса q = M+g{q)&- (2-23) 35
Произведя формальное интегрирование уравнения (2.23) по времени t, получим интегральное уравнение q(t) = f f(q(s))ds + Г g(q(s))Јsds. (2.24) Jto Jto Смысл последнего члена в уравнении (2.24) требует дополнительного определения в виде стохастического интеграла Ито [95] или Стратоновича [165]. Подробное рассмотрение математических аспектов СДУ можно найти, например, в монографии [212]. Марковские процессы Большую роль в физических приложениях играют случайные процессы без памяти - марковские процессы, - т.е. процессы, текущее состояние которых целиком определяет их последующую эволюцию. Мате-матическое определение марковского процесса можно дать используя понятие "поведение случайного процесса в прошлом". Пусть & - состояние процесса f в текущий момент времени. Тогда, под историей процесса Јt мы будем понимать совокупность всех состояний процесса f до момента времени t. Марковским называют случайный процесс, эволюция которого, т.е. вероятность перехода из состояния в состояние ft, t > s, не зависит от поведения случайного процесса в прошлом, предшествующем моменту времени S. Более формально, случайный процесс Є в},в Є [<о> С R называют марковским процессом, если при всех to где А [/о, s} есть наименьшее сг-поле, содержащее совокупность всех историй процесса т.е. {А\А = Н&И Є В},т Є [«о, s], BeU}. Независимость марковского процесса от предыдущей истории говорит о том, что переход марковского процесса из состояния Ха в состояние Yt,t > s может быть осуществлено в два этапа: (і) переход из состояния Х3 в промежуточное состояние Zt',t' > s, (ii) переход из промежуточного состояния Zt> в состояние Yt. Для условной вероятности P(B,t\X,s) = P(Xt Є В\Х3), называемой иначе вероятностью перехода, это утверждение формулируется в виде уравнения Колмогорова-Чепмена: P(B,t\x,s)= \ P{B,t\z,t')P(dz,t'\x,s), (2.26) jr 36 определяюшего вероятность перехода марковского процесса из начального состояния Х3 в область В Є U, как сумму вероятностей перехода через все возможные промежуточные состояния. Стационарные процессы Случайная функция называется однородной (а в случае временного аргумента - стационарной), если все ее статистические характеристики инвариантны относительно сдвига на постоянный вектор р(хх + а,... ,х„ + а) = р(хь... ,хп); (2.27) здесь р - плотность вероятности. Корреляционные функции однородной случайной функции (соответственно - стационарного случайного процесса) зависят лишь от разности координат (J(xl)f{x2)) = Bf{x1-x2).