2.5 Сингулярности и перенормировка

В квантовой теории поля полевые функции ф(х) описывают совокупность частиц (квантов поля) и их взаимные превращения. В соответствии с этим, волновые функции квантованных полей становятся операторнозначными функциями и распадаются на операторы рождения и уничтожения, в соответствии со знаком энергии.

41

это означает, что при пространственно-временных преобразованиях оператор- нозначные волновые функции должны преобразовываться по соответствующим представлениям группы Лоренца.

В качестве простейшего примера, рассмотрим массивное скалярное поле ф, удовлетворяющее уравнению Клейна-Гордона

(? + т2)ф(х) = 0. (2.42)

(Для удобства записи в квантовой теории поля обычно используется система единиц h = с = 1.) Используя преобразование Фурье в пространстве Минковского (кх = uit — kx), можно представить волновую функцию поля ф в виде суммы положительно- и отрицательно-частотной частей

ф(х) = ф+(х) + ф-(х), (2.43)

ф%г) = [ е^8{к2-гп2)ф{к)^-.

Jk0>0 (2тг)

После интегрирования по массовой поверхности ^-5(к2 -т2), разложение (2.43) может быть записано в виде интеграла по трехмерному импульсу

/

лзь

^з^ [а*(к)е'кх + a(k)e~tkx], шк = (2.44)

где операторы а)(к) и а(к) понимаются как операторы рождения и уничтожения квантов поля с импульсом к.

Любые квантовополевые конфигурации могут быть представлены как резуль-тат действия операторов рождения а*(к) и уничтожения а(к) квантов поля на вакуум |0) - состояние, в котором отсутствуют частицы. Поскольку отрицательно- частотная часть оператора поля ф~ уменьшает энергию, а энергия не может быть отрицательной, должно быть выполнено условие

а{к) |0) = 0;

состояния же с ненулевым количеством частиц могут быть записаны в виде полинома от операторов рождения

|Ф) = J Ф{ки..., кпЩк2 - т2)...

где Ф(к\,... ,кп) - амплитуда состояния.

42 Исходя из принципа соответствия между классическими скобками Пуассона {•, •} и коммутатором полевых операторов [•, •], можно показать, что соотношение

[ф(х, t), 7г(х', t)] = i5{x - х'), (2.46)

где 7г(х, t) = дН/дф(х, t) - обобщенный импульс, канонически сопряженный ПОЛЮ ф, ведет к коммутационному соотношению [205, 204]:

[а(к), at(A:')] = (2тг)32а^(к - к'); (2.47)

рождение же и уничтожение различных частиц не зависят друг от друга:

[0(^,0(^)1 = [at(fc),at(A;')] = 0.

Таким образом, оператор N(k) = al(k)a(k) есть оператор числа частиц с импульсом к; в вакуумном состоянии а*(А:)а(&)|0) = 0.

Для вычисления матричных элементов от произведений операторов поля ф(хі).. .ф(хп) обычно используют метод функционального дифференцирования производящего функционала (2.40). При этом n-точечная функция Грина, представляет собой Т-упорядочение п-й вариационной производной от производящего функционала (2.48)

j=0

SnW

Г d4k е-'^11"12) Wl^T- (2-49)

Видно, что при совпадающих аргументах Ху—Х2 интеграл (2.49) расходится при больших значениях импульса к —> оо. Такие расходимости, связанные не с бесконечным объемом области интегрирования, а с поведением подынтегральной

43

функции на малых расстояниях, называют ультрафиолетовыми (УФ). Ультрафиолетовые расходимости, связанные с самодействием поля на малых расстояниях, появляются уже в простейшей теории скалярного поля и присутствуют фактически во всех полевых моделях с размерностью большей 2.

Заметим, что в квантовой механике значение любой физической наблюдаемой определяется средним значением оператора, соответствующего этой наблюдаемой, т.е. матричным элементом (В) = (ф\В\ф). Действие же оператора В, соответствующего физическому измерению, на состояние системы опо-средовано действием некоторого проекционного оператора, имеющего конечное пространственно-временное разрешение. По этой причине, нет никаких физических оснований a priory предполагать справедливость классической интерполяции, не зависящей от проекционного оператора измерения, в область сколь угодно малых масштабов.

Примерно то же самое, как это будет рассмотрено ниже, происходит в классических моделях сплошной среды, - например, при описании гидродинамической турбулентности или изинговского ферромагнетика, - когда классические уравнения экстраполируются на масштабы, соизмеримые со средней длинной свободного пробега или средним расстоянием между молекулами. В этой ситуации, вероятность передачи импульса от молекулы к молекуле реально определяется кинетическими уравнениями, т.е. мерой, связанной со случайным процессом передачи импульса, а не уравнениями сплошной среды. Аналогичным образом, в квантовой теории поля передача импульса на малых расстояниях определяется амплитудой квантовых переходов и связанной с ними мерой.

44

(2.50)

В теории скалярного поля простейшие однопетлевые расходимости появляются при нелинейном самодействии поля %ф4: С физической точки зрения, ультрафиолетовые расходимости обычно связывают с бесконечным числом виртуальных квантов поля, рождающихся и уничтожаемых в одной и той же пространственно-временной точке яі = Х2, т.е.

Следует заметить, что любое квантовое измерение всегда осуществляется с конечным пространственным и временным разрешением, а значит - с конечной передачей импульса и энергии. Функция Грина с совпадающими аргументами лишена смысла с точки зрения квантовых измерений: физический смысл должны иметь средние значения операторов наблюдаемых и квадраты модулей матричных элементов перехода между различными квантовыми состояниями. Значения этих величин не должны зависеть от каких либо бесконечностей, возникающих в результате экстраполяции теории классических полей в область малых масштабов (больших передач импульса). Поэтому, для построения физически интерпретируемой теории, обычно поступают следующим образом. Используя разложение по константе связи д, стоящей при потенциале взаимодействия У(ф), т.е. диа- грамную технику Фейнмана, вычисляют соответствующие вариационные производные (2.48) от производящего функционала W[J\. Затем, в каждом из членов построенного разложения полагают верхний предел интегрирования в импульсном пространстве равным фиксированной величине Л, называемой импульсом обрезания. При этом подразумевается, что при переходе к физической теории необходим предельный переход Л—>оо. Если удается построить модель, в которой наблюдаемые величины инвариантны относительно выбора импульса обрезания, т.е. относительно масштабного преобразования Л —» esA, то такую теорию называют перенормируемой. В дифференциальной форме, перенормируемость, т.е. независимость от изменения импульса обрезания приводит к уравнению

а5а<7' = 0

(2.51)

для каждого из членов разложения производящего функционала в ряд по константе связи д.

Исторически, борьба с УФ расходимостями началась с устранения бесконечных радиационных поправок в квантовой электродинамике. В первых работах Вайскопфа (V.Weisskopf) и Бетте (H.Bethe) указывалось, что по крайней мере некоторые из бесконечных радиационных поправок могут быть адсорбированы в так называемые "голые" параметры (масса, заряд), которые характеризуют (фиктивные) не взаимодействующие поля - физические же поля получаются путем одевания голых полей "шубой" взаимодействия; при этом бесконечные ради-

45

ационные поправки компенсируют бесконечные величины голых полей, приводя к наблюдаемым (конечным) величинам заряда и массы.

Обычно, перенормируемости теории добиваются вводя формальную замену константы связи и других параметров модели на величины, зависящие от импульса обрезания Л: (2.52)

gR = Z~l(h)g, mR = Z^m{K). Зависимость подбирают таким образом, чтобы константы перенормировки Zi(A) обращались в бесконечность при Л —> оо, одновременно с обращением в бесконечность константы связи д и параметров, так, чтобы их отношения оставались конечными; одновременно с перенормировкой зарядов (2.52), при необходимости, осуществляется и перенормировка полей. Такую перенормировку называют мультипликативной.

Мультипликативная перенормировка имеет ясный физический смысл с точки зрения теории измерения. В общем случае, мультипликативная перенормировка подразумевает, что поля ф(х), определяющие действие исходной теории S[0(x)], могут быть заменены перенормированными полями (2.53)

<Ш = г:1(дЛ)Ф(х) при построении производящего функционала и вычисления функций Грина. Константы мультипликативной перенормировки (2.53) при этом зависят только от констант связи и произвольного масштаба обрезания г = 1/Л.

Рассмотрим пример электродинамики. В этом случае, в качестве константы связи д выступает заряд электрона е. Пусть ео - заряд "голого" электрона, имеющего бесконечно малый радиус г0. Любое физическое измерение заряда, выполненное на масштабе г > го, даст значение е(г), в которое вносят вклад как заряд "голого" электрона ео, так и все виртуальные электрон-позитронные пары, появляющиеся в результате поляризации вакуума.

46 г

л г

Л

П г2

О

V.

J V

У Рис. 2.1: Перенормировка заряда: физические значения заряда е2 и ei наблюдаются на расстояниях г2 и г\ от "голого" электрона

значение заряда должно быть некоторой функцией как от величины "голого" заряда, так и от масштаба измерения: е = е(г, ео).

Утверждение о ренормализационной инвариантности теории состоит в том, что величина неизвестного (и принципиально не измеримого в эксперименте) "голого" заряда, может быть выражено с помощью некоторой универсальной функции е0 (г, е):

ео{го, е0) = Cfo/ro, е2) = C(nAo, ei), где еі = С(г2/гі, е2).

В виду ее универсальности, эта же функция определяет и значение заряда, измеренное на меньшем масштабе, если известно его значение на большем:

(2.54)

здесь г2/г! = t, г2До = х и а = е2 - два конкретных значения заряда, измеренные на различных масштабах. В силу независимости левой части уравнения (2.54) от параметра масштабного преобразования t, правая часть также от него не зависит. Отсюда, для конкретного значения t=1, получим дифференциальное уравнение РГ в форме Овсянникова (2.55)

х

д((х ,а) dC(t,a)

дх dt t=1 Уравнения (2.54) или, соответственно, (2.55) задают группу Ли масштабных преобразований, связанную с наличием универсальной функции, определяющей изменение измеренного значения заряда при переходе от одного масштаба к другому.

Наличие ренормализационной инвариантности само по себе не следует из изначально заложенных в теорию Лоренц-инвариантности, инвариантности относительно калибровочных преобразований или других свойств теории. Ее подтвер-ждением является лишь блестящее совпадение с экспериментом расчитанных на

47

основании РГ характеристик как квантовых, так и классических систем. По этой причине есть основания считать, что ренормализационная инвариантность играет такую же фундаментальную роль в природе как и Лоренц инвариантность. Более того, как было показано [131, 132], имеются и более глубокие аналогии. В случае калибровочных теорий, когда лагранжиан теории инвариантен отно-сительно группы Ли калибровочных преобразований, применение РГ должно производиться с известной осторожностью. Дело в том, что РГ представляет собой не симметрию уравнения, а симметрию решения по отношению к преобразованию затрагивающему как поля, так и параметры [158]. Сами вычисления бета-функций в уравнении РГ производятся путем интегрирования по сферическим оболочкам в импульсном пространстве, так что ренормгрупповое изменение масштаба в импульсном пространстве ведет к нелокальным изменением полевой конфигурации в обычном пространстве и может менять топологические свойства решений. В этом смысле, более адекватным является интегрирование по сферическим оболочкам непосредственно в координатном пространстве, с соответствующей мерой, обеспечивающей выполнение теоремы Стокса, формул Грина и т.д. [97].