3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба

Большинство нелинейных динамических систем, испытывающих сложное хаотическое поведение, тем или иным способом проявляют самоподобие, выража-ющееся в сходном поведении системы на малых и больших масштабах.

Смысл термина самоподобие далеко не всегда один и тот же. В работе автора [13] была предпринята попытка дать более строгое определение этого термина для классических распределенных систем, в частности, для гидродинамической турбулент-ности, в терминах функционального анализа. Следуя основным идеям работы [13], мы рассмотрим необходимость введения функций, зависящих как от координаты, так и от разрешения в задачах классической физики, и перейдем к рассмотрению свойств этих функций используя вейвлет-разложение и аппарат функционального анализа.

Самоподобие и зависимость от масштаба почти неразделимы во многих физических задачах. Одним из наиболее известных примеров является теория развитой гидродинамической турбулентности [220]. Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса

dtv + v- Vv = -Vp + i/Av, V-v = 0, (3.1)

имеющими широкий спектр хаотических решений. С формальной точки зрения, решение v = v(x, t) уравнения (3.1), с заданными начальными и граничными условиями, представляет собой непрерывную дифференцируемую функцию от

аргументов х и t. На самом же деле, как показывают численные исследования, поведение решений уравнений Навье-Стокса весьма нерегулярно и может сильно зависеть как от начальных/граничных условий, так и от шага сетки [200,211, 201]. Таким образом, даже с чисто технической, вычислительной сторо-ны представляется целесообразным введение пространства функций, зависящих как от координат, так и от разрешения по этим координатам,

v = v(x,t; Ах, At).

Это означает, что если при решении исходного дифференциального уравнения в обычном формализме мы имели одно пространство функций v = v(x), - здесь х обозначает весь набор аргументов, a v - весь набор зависимых переменных, - то теперь нам необходимо расширить это пространство до семейства v&x(x), где Ах пробегает дискретное или непрерывное множество допустимых разрешений (масштабов).

С экспериментальной точки зрения, введение функций, зависящих от масштаба также представляется весьма обоснованным. Действительно, значения любой векторной величины v(t,x), характеризующей поведение сплошной среды в точке х, всегда вычисляется как среднее значение по некоторому физическому объему (Ax)DAt с центром в точке х - усреднение же по бесконечно малому объему (Ах -> 0) может оказаться физически бессмысленным. Чему, например, равна температура газа при отсутствии в нем атомов?

В случае гидродинамической турбулентности, как натурные исследования в аэродинамических трубах, так и численное моделирование показывают, что поле скорости турбулентных флуктуаций напоминает броуновское движение с показателем h = 1/3:

{\v(x + l)-v(x)\2)~l2'3.

Этот результат был получен еще А. Н. Колмогоровым из простых соображений размерного анализа [214]. По сути, именно в этой работе заложены физические основы описания турбулентности в терминах масштабно-зависимых функций. В практических вычислениях зависимость поля v(x) от масштаба обычно исследуется либо с использованием мультифрактального формализма - часто с использованием вейвлетов [29, 172], - либо посредством метода РГ [61]; в последнем случае под параметром масштаба понимается импульс обрезания А.

Таким образом, по крайней мере насколько это известно автору, анализ свойств масштабно-зависимых полей и сигналов обычно проводится в пространстве квад-ратично интегрируемых функций v(x) Є L2, где подразумевается, что конкретные значения v(x) измеряются на каком-то определенном пространственно-

54 временном разрешении; этому факту однако не приписывается никакого строгого математического смысла. Следуя работе [13], мы попытаемся посмотреть на эту проблему с точки зрения функционального анализа.

Заметим, что упомянутая выше зависимость от масштаба всегда связана с некоторой процедурой усреднения; усреднена же может быть только случайная, или измеримая, функция. Связанная с масштабной зависимостью инвариантность означает, что нечто имеет одинаковые свойства при разных масштабах измерения1.

Классические фракталы, и связанные с ними меры, масштабно-инвариантны по построению. Броуновское движение - частный случай фрактала - также масштабно инвариантно: посмотрев в микроскоп на траекторию броуновской частицы при различных разрешениях, мы увидим примерно одну и ту же картину.

Самоподобие флуктуаций гидродинамического поля скорости ((5v(l))2) ~ /2/3 относится к поведению турбулентных пульсаций измеряемых на различных пространственных масштабах. Для гидродинамического поля скорости физически ясно, что измерение на фиксированном пространственном масштабе IQ С необходимостью включает усреднение по молекулярным скоростям внутри некоторой пространственной области с характерным размером /о. Эта процедура может быть обобщена до "усреднения функции ф на масштабе Г (см. например [54]):

(3.2) в D-мерном евклидовом пространстве RD. Определение (3.2) содержит, как минимум, два предположения:

Существование "истинного" (no-scale) поля фі(х): I —> 0.

Однородность меры d/x(y) = dDу.

Физически, с точки зрения измерительной процедуры, абсолютно ясно, что две функции фі (х) и фі> (х) при І ф I', принадлежат двум различным функциональным пространствам: совершенно бессмысленно, скажем, вычислять разность фі(х) - фі>(х), І ф V. Таким образом, мы приходим к выводу, что поле скорости гидродинамической турбулентности - корректно определенное с точки зрения измерительной процедуры - есть нечто большее чем случайная функция вида v(x, t, •), определенная на (Rd х R, П).

^ри более детальном рассмотрении здесь может оказаться важной сама возможность измерительной процедуры, совместимой с аксиомой Архимеда; это существенно в случае квантового измерения.

Чтобы должным образом охарактеризовать поле турбулентных пульсаций в заданной точке пространства xelD нам необходимо знать не одну случайную функцию v(x,t,-), а семейство функций {фі(х)}, индексированное параметром пространственного разрешения I. Например, для известной модели перехода к турбулентности путем удвоения периода [217], индекс I пробегает дискретный набор значений

I = lo, klo, к l0,k /eh • • • j

где к = 1/2.

В более общей постановке, для полного задания свойств турбулентного поля скорости, индекс I должен пробегать континуальный набор значений. Это означает, что зависимость величины векторного поля от масштаба изме-рения, требует перехода от пространства векторных случайных полей над RD к расслоенному пространству, в котором слои индексируются параметром масштаба I, а мера, в общем случае, зависит не только от величины поля, но и от /. Для того, чтобы сделать возможным сравнение полей в этом расслоенном пространстве Дюбрюлле и Граннером [54] было предложено ввести зависящий как от точки, так и от масштаба локальный базис единичных векторов {TZi(x)}, назы-ваемый референс-полем. Результат измерения поля ф в этом случае выражается посредством отношения фі(х)/Яі(х).

Главная проблема, возникающая при многомасштабном описании состоит в том, как описать взаимодействие друг с другом флуктуаций различных масштабов. В аналитических работах, как правило, используется известный прием теории возмущений: истинное (I —> 0) поле раскладывается в сумму медленного (крупномасштабного) и быстрого (мелкомасштабного) полей [221]:

ф = V + v, где Еи = 0.

При таком подходе медленная компонента V входит в качестве параметра в уравнения для моментов быстрой компоненты v; четные моменты быстрой компоненты, в свою очередь, дают вклад в уравнения для v. Для решения получаемой таким образом системы уравнений необходимо из каких либо физических соображений замкнуть уравнения, отбросив старшие моменты быстрой компоненты.

С точки зрения теории Колмогорова (К41) гипотезу о существовании истинного (вне-масштабного) поля нельзя считать адекватной. В силу свойств авто- модельности (самоподобия) поля турбулентных пульсаций, в гидродинамике не может существовать какого либо выделенного масштаба, за исключением масштаба диссипации ту и внешнего размера системы L. Таким образом, во всяком случае в области инерционного интервала rj<.l

56 Перейдем теперь от физического обоснования необходимости введения зависящих от масштаба функций фі(х) - таких как скорость, намагниченность и прочее - к построению функциональных пространств, связанных с этими функциями. При этом, как и в любой новой физической теории, должен выполняться принцип соответствия: в случае, когда зависимость от масштаба несущественна, т.е. когда мы имеем дело с дифференцируемыми функциями с хорошо определенным пределом lim/_o uix+l)~u(x) = и'(х), многомасштабное описание должно переходить в обычное. Пусть {Vi}i - семейство пространств, элементами которого являются масштабно-зависимые функции фі(х), а Н - замыкание этого семейства:

Ясно, что при переходе от описания на меньшем масштабе I' к описанию на большем масштабе I теряются некоторые детали микроскопического поведения

Следовательно, информация, содержащаяся в функциях пространства Ц> может быть восстановлена если известны детали, утерянные при переходе от масштаба I' к более грубому масштабу I. Формально, это утверждение можно записать в виде

где Wi - ортогональное дополнение Ц до Ц>. Пусть имеется некоторое полное описание исследуемой системы в терминах масштабно-зависимых функций

где А - конечное или бесконечное множество, тогда

Это означает, что любую функцию из Vik можно разложить по базису из Цт если только lm < Ik- Без ограничения общности, считая что последовательность (3.5) ограничена максимальным масштабом IQ, можно рекурсивно применить разложение вложенных друг в друга пространств (3.6) по ортогональным дополнениям (3.4). Применяя эту процедуру последовательно, начиная с некоторого к > О, получим

Vh = Wik-\ Є Vlk.! = Wik-.\ Є Wh.2 Є Vik—2 = Wh.і Є Wlk-2 Ф Wlk.з Ф —

Следовательно, все пространство W = UJVJ может быть разложено по ортогональным дополнениям Wi, вместо самих пространств V/, которым принадлежат функции (3.4):

Таким образом, многомасштабное разложение можно проводить от меньшего масштаба к большему, сохраняя на каждом шаге не сами значения фі(х), а лишь детали теряемые на каждом масштабе - именно эта идея лежит как в основе вейвлет-разложения, так и основе метода динамической ренормализационной группы [111].

Ключевым моментом для перехода от многомасштабного описания с использованием усредняющей функции (3.4) к вейвлет разложению является предположение об одинаковости пространств Ц на всех масштабах. Набор аксиом, обеспечивающий однозначное разложение функции по системе ортогональных до-полнений (3.7) в случае дискретной сетки масштабов 4 = 1о2~к, был предложен Мала и Мейером [112,113] для задач обработки изображений. Соответствующее разложение получило название кратно-масштабного анализа:

пространства Vj и V}_i "подобны"в том смысле, что

Свойство подобия (3.8) здесь является ключевым: при разложении по ортогональным дополнениям (3.4) оно гарантирует, что, выбрав базисную функцию -ф в одном из пространств Wi, мы имеем возможность, масштабируя этот базис для каждого из Wi>, І' ф I, разложить по нему любую функцию из (3.7) - это и есть вейвлет-разложение (1.13) в пространстве квадратично интегрируемых функций.

Используя вышесказанное, и предполагая, что одна и та же функция ф может быть интерпретирована как аппаратная функция измерительного устройства, мы можем рассматривать вейвлет преобразование от экспериментальных данных - скажем, компонент скорости или амплитуды сигнала, - как результат некоторого измерения. Это предположение является достаточно сильным - для его выполнения необходимо, чтобы результаты измерений, проводимых на

58 различных масштабах, определялись одними и теми же физическими процессами. Вместе с тем, оно, очевидно, справедливо для широкого класса явлений. К этим явлениям относятся гидродинамическая турбулентность в инерционном интервале, квантовая электродинамика вдали от масштаба электрослабого объединения, теория критических явлений - словом, все то, где успешно зарекомендовали себя идеи самоподобия и методы ренормализационной группы. Вейвлет преобразование от экспериментальных данных здесь представляет собой линейный интегральный функционал от измеримой функции. Соответствующая мера определяется характером случайности присущей данному процессу - классическим или квантовым.

В свете вышесказанного, нам необходима теория случайных функций, веро-ятностные свойства которых могут явно зависеть от масштаба. Для построения такой теории рассмотрим сначала свойства коэффициентов вейвлет-разложения обычных случайных процессов. Это будет нулевым вариантом модели, предполагающим существование исходной функции в классе случайных процессов второго порядка ( т.е. вне-масштабных функций).

3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба

Еще по теме 3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба: