3.2 Рсгуляризирующин алгоритм обработки навигационных измерений
Для нахождения навигационной оценки Ef(t*), соответствующей критерию I минимума функционала (3.2) из предыдущего раздела, сведем задачу к системе нормальных уравнений.
Общая запись системы нормальных уравнений, соответствующей критерию (3.2) для определения оптимальной оценки ?}(t*), имеет вид: ^.q^.S^-q^) фв0ч|Ф f
S = 2 6,
(3.3)
- а
= 0,
X EKGj.nDjL, (t,,q(t*),Se)-q®]} = 0,
где Os(tj,t*) - s-ая строка матрицы частных производных Ф(^,Г), позволяющей пересчитывать вектор состояния q НКА с момента t* на момент t| . 0(tj,t*) являются частные производные 0j|(t|,t*)= dQ'^p (l,i = 1 ,...,6) компонент вектора 5qt(t ) состояния на момент времени tj по компонентам вектора состояния на момент времени f, Матрица 0(tp,t() определяет равенство, которое связывает приращение Aq/ вектора состояния q в момент t; с приращением данного вектора Aqp в tp: ct>{tp,t/) Aq; = Aqp. выражение Ф^О^Ф^7 определяет дисперсию первой компоненты вектора ошибок измерений Aqa) на момент времени tj, спрогнозированную на время t*; Из решения системы уравнений (3,2.1), (3.2.2) следует выражение для оценки вектора ПДЦМ Ef(t*), которая c((t*) выражается, как сумма некоторого опорного вектора qon = (q°n, qj", q™, q™, q§n, qgn) (первого приближения) и оценки приращения к этому опорному вектору Aq*: 3(t*)= q°n + Aq*. Из уравнений (3.4) компоненты 2^6 вектора Aq* выражаются через Aq} следующим образом: || Aqa Aqs Aq* Aqs Aqs ||T = A"1 (C - D Aq}), (3.5) где С, D - вектора, элементы, которых вычисляются по соотношениям А - матрица размера 5x5, элементы которой определяются по формуле akn = Sf = 1 Sm =! Ф(к +1 )т j-'СТ Йт' ^m(n +1 j o ? Здесь кип принимают значения от I до 5. выражение для первого компонента вектора оценки приращения АС]-] записывается следующим образом: 1^(010],t*)DjДя® + а пАЦ\.т)~МА"1С Aqi = "4мг: 0JS> где Aq® = q® tj, c((t*) ,Sg) - шестимерный вектор разности между измеренным вектором q® на момент времени tj (j = 1, 2, N) и спрогнозированным вектором искомой оценки Ј|(t*) на момент времени tj; Дсц" = [i/p(t*,qa>,S6)t - Ef (t*)] - разность между первым компонентом спрогнозированного вектора q® на t* и первым компонентом вектора оценки q (t*). 1 М - вектор-строка, элементы которой равны: mk = Sf=, IJ =, Ф! (n+i) (tiП? о дч(п+! j o Ф(П +1 )(k +1)"j ? П. Подробный вывод выражений (3.5) и (3.6) из системы нормальных уравнений (3.3), (3.4) дан в приложении А. На основании выражений (3.5) и (3.6), приведенных в этом разделе, записывается регуляризирующий алгоритм для нахождения навигационной оценки cf(t*). На точностные характеристики оценки, вычисленной в соответствии с рассмотренным алгоритмом, влияют многие факторы. Перечислим основные из этих факторов: глубина памяти исходной навигационной информации (т. е. количество векторов навигационных измерений и соответствующий им временной интервал); величина параметра а, который играет роль весового регуляризирующего параметра; характеристики выбранной модели движения, в том числе, количество используемых гармоник в разложении геопотенциала Земли и точность знания параметров атмосферы, в частности, баллистического коэффициента Se. Для анализа чувствительности вектора навигационной оценки к значению параметра регуляризации а получим выражения для определения степени влияния значений величин СКО векторов навигационных измерений на СКО первой компоненты оценки ^(t*). С этой целью приведем другую форму записи (3.3) в которой вынесен за скобки в качестве общего сомножителя член с целью приведения к форме удобной для вычисления 2 среднеквадратического отклонения о в: Aq*
1 а-Фш _i VN Х]=1 Wj.n^ + 1~)-MA 1Sj ф®0 Фа) 1 гцП (3-7) + m ° T )-MA*1 D где Sj - матрицы размерности 5хб (j = 1,2,..N ) имеют вид: Ф21(*].П OaGj.n o o o ФиОрГ) S| = <"ei(tj.n Ф^ = Фч^М.) - первая строка матрицы перехода между моментами времени tj и t*, Ф;к(^Д*)(/ = 2,...,б; к= 1,...6)- компоненты матрицы перехода между t* и tj Ковариационная матрица ошибок векторов навигационных измерений Aq®, поступающая из НП в БКУ, имеет простую структуру, вида /39/: о О О О О О п О о2 О О О О п
О 0 ст О О О Dni = , где j =1,2,N, п О 0 0 о2 О О ск О О О О ст2 О ск
0 0 0 0 Ост2 ск в которой по диагонали стоят квадраты среднеквадратических отклонений вектора ошибок навигационных измерений, ст" - среднеквадратические отклонения ошибки по отдельной компоненте координаты положения вектора навигационных измерений, оск - среднеквадратические отклонения ошибки по отдельной компоненте скорости вектора навигационных измерений. (3.3) к тождественному выражению (3.7) осуществлена замена случайной величины Дс(®на выражение, содержащее случайный вектор в соответствии с равенством Aq®=01(t*,tJ)Aq На основании вышесказанного и использования формулы вычисления оценки (3.7) 2 получаем общую линейную формулу для вычисления квадрата дисперсии ст .: ДЧ1 \2 (ЕГ-.Р®* -r)-MA"1D ф^Ф"
0) 1А аФ 2л=1 i)T 1 щ' 1 ) ф(|>0 ф® (3.8) \2
® аФ Ф®0-1-МА_1Ф® + 1Л 'ск *л и т Ф® 1 FG 1 где введено обозначение для вектора столбца размерности 5 из частных производных: Ми *) , (А = "1-5-6,j = 1,2 N); ФР. Ф® (А=1,...,6) - обозначена первая компонента вектора Как следует из выражения (3,8) а зависит от а нелинейно. Ч Последнее замечание можно использовать для анализа чувствительности компоненты вектора оценки Aqi от параметра а для различных наборов навигационных измерений и интервалов прогноза [t^, t*].