8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков 8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах
Одной из главных проблем, возникающих при обработке экспериментальных данных является разделение одного или нескольких полезных сигналов, проявляющихся, скажем, в виде пиков во временном или частотном представлении, на фоне шумового сигнала.
Задача может быть одномерной, как это имеет место в спектроскопии, или иметь трехмерную геометрию - например, в случае181
детекторов элементарных частиц, используемых на ускорителях. Обычно, экспериментальные пики могут быть удовлетворительно апроксимированы гаусси- аном. Это имеет место для спектральных пиков, для плотности электронных облаков в дрейфовых камерах, для гистограмм событий в детекторах элементарных частиц. Разделение близких гауссовых пиков, таким образом, является очень важной задачей обработки экспериментальных данных. Так, в электронной спектроскопии спектр энергии обычно включает несколько гауссовых пиков, во время-пролетных измерениях энергии элементарных частиц, таких как RICH, SiDC, ТРС [3] и других, близким энергиями соответствуют близкие пики сигнала детектора.
В зависимости от конкретного типа детектора, сигнал может быть двумерным (два пространственных измерения, как в детекторе RICH), или 1+1-мерным (координата + время) как, например, в детекторе ТРС. В простейшем случае мы имеем дело с гистограммой количества электронов, зарегистрированных различными каналами детектора. На рис. 8.15, взятом из работы [б], представлен спектр энергии электронов, зарегистрированных пластиковыми сцинтиллятора- ми в эксперименте NEMO. Более высокий пик на рис. 8.15 как бы заслоняет все пики меньшей амплитуды, находящиеся под ним.
(8.5)
Число возможных пиков (М) в разложении (8.5) не должно быть слишком большим, и ограничено размером гистограммы. Минимизация по отношению к набору ЗА/ параметров (Ак,(Тк,Хк) обычно выполняется с помощью стандартных программ минимизации, таких как MINUIT.
Эта процедура применяется весьма успешно при небольшом числе каналов и не очень сильном шуме. Тем не менее, метод прямой минимизации квадрата разности не является грубым по отношению к влиянию шума и не работает в том случае, когда расстояние между пиками меньше полуширины пика, а шум при этом отличен от нуля. По этой причине в работах автора [91, б] было предложено использовать для разделения гауссовых пиков альтернативный метод, основанный на непрерывном вейвлет- преобразовании.Рассмотрим основную идею, лежащую в основе применения вейвлетов к разделению гауссовых пиков. Пусть экспериментальные данные, например, гистограмма зависимости числа частиц от энергии (номера канала) fexp(x), аппрокси-
182
Прямой метод разделения пиков состоит в минимизации квадрата разности между экспериментальной гистограммой и суммой гауссианов с неопределенными параметрами
мируются с помощью суммы М гауссовых пиков. В этом случае проблема аппроксимации экспериментального распределения сводится к нахождению множества параметров (Nk,ak,xf)^=l, минимизирующих выражение
F(N, аГ) = fexp(x) - ? ехр . (8.б)
V2™k v 2