2.6 Применение квантовополевых методов для опи-сания классических систем с большим числом степеней свободы

Под применением квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы мы будем понимать стохастическую дина-мику, когда поведение динамической системы в фазовом пространстве исследуется на основании усреднения уравнений движения.

Мы рассмотрим стохастическую динамику, основанную на уравнениях част-

48 ного вида, когда зависимость от времени содержится лишь в виде первой производной исследуемого поля по времени, называемых уравнениями Ланжевена

Ъф{г,х) = Щф] + fj(t,x), {rj{tfx)fj{t',af)) = D(t -t',x- x'), (2.56)

а также критической динамикой [226], за их распространенность в теории критических явлений. Здесь 0(f, я) - искомый набор динамических переменных (полей, параметров порядка); и[ф] - зависящий лишь от полей и их пространственных производных функционал; т)(?, х) - гауссова случайная сила с нулевым средним значением; х - весь набор пространственных координат. Для конечномерной динамической системы х принимает конечное множество значений; для системы с бесконечным числом степеней свободы - например, при описании гидродинамических полей - х является непрерывной пространственной координатой, т.е. принимает континуальное множество значений.

Введение гауссова случайного шума в правую часть уравнения (2.56) является удобным техническим приемом.

В стандартной постановке задачи стохастическое уравнение Ланжевена (2.56) рассматривается на всей оси времени, с заданной асимптотикой при t —> —оо, а также в любой гиперплоскости —»оо. Такая постановка обеспечивает существование и единственность решения уравнения Ланжевена в смысле единственности решения СДУ [212]. Определяемыми величинами для СДУ (2.56) являются:

статистические моменты (ф{Ь\, zi)... ф(Ьп, хп));

функции отклика (5ф(і,х)/5г](і',х')), t' < t;

для их вычисления используют представление характеристического функционала (2.11) для случайного процесса ф(Ь,х, •) в виде функционального интеграла.

Для записи ХФ для процесса ф, удовлетворяющего ланжевеновскому уравнению движения (2.56), функциональную меру записывают в виде произведения функциональной дельта-функции от уравнений движения на меру гауссового процесса fj:

'дф

at '"И

Vфe-fй^тлVf|. (2.57)

49

Окончательно, для приведения ХФ к форме производящего функционала некоторой теории поля, представляют функциональную дельта-функцию в (2.57) в виде функционального интеграла по вспомогательному полю ф,

а функциональный детерминант - в виде интеграла по паре вспомогательных грасшановых полей фиф, духов Фаддеева-Попова [224]: det М =

После интегрирования по гауссовой случайной силе, получаем производящий функционал в виде

W[r], ту] = / ехр (гг)ф + гт]ф + iSty, ф]) Т>фТ>фТ>1рЪ-ф (2.58)

в[ф,ф} = ф(д,ф-и[ф)) + ф^-5-^ф+г-фОф,

где, для удобства вычисления функций отклика, вводится дополнительный источник r](t, х), имеющий смысл регулярной (не случайной) силы в исходном уравнении Ланжевена (2.56). Характеристический функционал, зависящий от двух источников г] и г), мы будем далее называть производящим функционалом, так как он используется как для построения моментов, так и для построения функ-ций отклика.

А

ф, но не от ф.

G(0,x) =

2 = 25{Х);

50

Возможность не учитывать функциональный детерминант в характеристическом функционале (2.58) связана со свойствами причинности. Значение ф(Ь,х) в уравнении Ланжевена может функционально зависеть лишь от значений случайной силы в прошлом t' < t, но не от ее значений в будущем. При совпадающих же временах, функцию Грина можно доопределить средним значением на разрыве при этом, поскольку функциональный детерминант определяется именно за-мкнутыми петлями, можно формально положить его равным единице, перейдя при этом к связным функциям Грина, т.е. заменив W —> In W: (2.59)

S\nW

((ti,Xi) .. .ф(іп,хп))с =

гп5т](іі,хі) ...5r](tn,xn) JJ=0' Это удобно при пертурбативных вычислениях, когда потенциал и[ф] в уравнении Ланжевена представляется в виде суммы линейного оператора L и нелинейного потенциала взаимодействия У[ф\, при котором стоит малый параметр разложения д, обычно называемый константой связи (2.60)

и[ф} = Ь[д]ф + дУ[ф]. В этом случае запаздывающая функция Грина (G(t < 0, х) = 0) определяется выражением G = (dt - L)-1, а производящий функционал может быть стандартным образом записан в виде вариационной производной от функционала WQ[T], fj] для свободных полей

Представление производящего функционала в виде (2.62) приводит к стандартным фейнмановским правилам построения диаграммной техники. Таким образом, любая стохастическая задача Ланжевеновского типа (2.56) полностью эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей (ф, ф). Это так называемый формализм удвоения полей, впервые предложенный Мартином, Си- джиа и Розе [114].

Заметим, что функциональный детерминант и связанные с ним грассмановы поля ф и ф могут быть существенны при описании классических гамильтоно- вых систем с использованием производящего функционала (2.58). При описании гамильтоновых систем - движение которых происходит по гиперповерхностям постоянной энергии в фазовом пространстве - во всех окончательных результатах следует положить случайную силу f равной нулю, а функциональная мера (2.57) приобретает смысл микроканонической плотности распределения. Переменная ф у рассматриваемых таким образом гамильтоновых представлят собой набор координат и импульсов ф = (q,p). Грассмановы же переменные фиф-

51

под знаком функционального детерминанта стоит вариация от гамильтоновых уравнений движения - отвечают, соответственно, за дифференциалы координат и импульсов. Как было показано Гоцци [76], вследствие BRS симметрии [34], для гамильтоновых систем, квартет полей (ф,ф,'ф,'ф) представляет собой компоненты одного суперполя Ф, а само действие (2.58) для гамильтоновых систем может быть получено заменой поля ф на суперполе Ф в классическом действии S = pq — H(q,p). Использование суперсимметричного формализма также удобно для вывода различных тождеств Уорда и устранения отдельных расходимостей, в частности, в стохастической гидродинамике [23,192].