Приложение

Приложения А.1 Вычисление однопетлевых интегралов в стохастической гидродинамике

А. 1.1 Функция отклика

Для вычисления однопетлевой диаграммы, дающей вклад в функцию отклика введем следующую тензорную структуру

L(k, q, a, s) = -т(к, a, b, c)o(q, b, 1)т(р, с, I, s). (A.l)

Суммирование по повторяющимся индексам подразумевается.

o(q, b, I) = бы - m(p, с, і, s) = ^ [pio(p, c, s) + pso{p, c, /)].

После свертки по повторяющимся индексам и подстановки к • q = kqp., где /І = cos в - косинус угла между векторами к и q, получим:

тґі А . fcV - 1) 2AV + 2цкд(1 - 2р?) + р2( 1 - 4/х2) L(k,q,a,s) = + fcaA;e —

-к2р? + кдц{2р? - 1) + цУ и ~2к3ц + 2k2q(2p? - 1) + Зкцр2 + kaqs V qaks

2p2 Ap2q

+ qaq:

к3 (J, + k2q(l — 2/x2) — kfip2 2 qp2

217

Теперь проведем подстановку р2 = к2 — 2kq/u + q2 в числителе и выполним некоторые алгебраические упрощения. Это приводит к следующему выражению для тензорной структуры L:

L(k, q, a, s) = І [Tik26as + Т2как3 + Tzkaqs + TAqaks + Tbqaqs],

где cos2fl- 1

Tl = 2 '

T2 = T3 =

k2 + g2 - 2 cos2 6{k2 + 2q2) + Akq cos3 Є 2p2

g2 cos2 0 — kq cos в

9 )

p2

k3cose-2k2qcos29 + 3kq2cosd-2k2q

-M =

2qp2

T5 =

k2 - kq cos в

P2 Для вычисления однопетлевого вклада в функцию отклика тензорную структуру L(k,q,a,s) необходимо умножить на интеграл по частоте от вклада функций Грина

L

dqot„ ,_м2п п. 1 1

^„іаді = —^+q2+(k_q), (А,,

Используя полученные выражения легко найти однопетлевой вклад в функцию отклика

щ(к) = Go(k)r)i(k) + Gl(k)A\2 f q^dqdesm*-2 всіф 1 A(q)

7 2vzq? a + q2 + p2

x ^ [Tj/cX + T2fcaA;s + T3fcags + T4qaks + T5qaqs] fjs(k).

Как обычно, принимая направление вектора к за направление оси z (к = ке2, где в - полярный к • q = kq cos в, а ф - азимутальный углы), вычислим однопетлевой интеграл (А.З) в размерности d = 3:

щ(к) = G0m(k) + \2Gl(k)S2 [q2dqd9sinfl 1 А(ч)

J v Ч „ + Q+ P

2 2 x diag(7\ fc2 + q- sin2 6T5,Tik2 + sin2 6T5,0Щк).

zt ь4

218

Здесь diag() - диагональная матрица, два первых элемента которой дают поперечный вклад в вязкость, а последний член, задающий продольный вклад в вязкость, тождественно равен нулю

А;2(Ті + Т2) + kq cos 6{Т3 + Т4) + q2 cos2 вТъ = 0.

Окончательно, после интегрирования по угловой переменной cos б, приходим к выражению

Щ(к) = С0(кШк) + A2Gl(k)^ Г dqA(q)dibg(R(k/q), R(k/q),0Mk), (А.З)

где

v Jo

= з^И-1^3-^4^2-1)3111^2

+ (Зх6 - 2х4 + 12х2 - 8) In l + lX + Xl . (А.4)

2 — 2х + х2\

А. 1.2 Корреляционная функция

Тензорная структура, входящая в выражение для парной корреляционной функции вычисляется аналогично тензорной структуре, входящей в функцию отклика:

С(к, q, a, s) = m(k, a, b, c)m(k, s, I, t)o(q, b, l)o(p, c, t). После алгебраических преобразований приходим к выражению

-кА 4- 2к3м + к2{-цр2 - p?q2 + 2р2)

С (к, q, a, s) = 5а

4р2

к2(1 + р2) - 2kqp(l + 2м2) + 2(2дУ - р2)

как.

4р2

-к3 Ц + \k2qp} + kfi(~4fi2q2 +р2 + q2)

+ (kaqs + qaks)

4p2q

Л-1Л, f Л/ ^/х д -у — ч ) /.

+ го • (A-5)

k4 - 4k3pq + k2(4fi2q2 - p2 - q2) Ap2q

След от этого выражения, c2(k,q) = ^aC(k,q,a,a), который входит в выражения для энергии, равен

С2(к, q) = (1 [k2(d - 1) - 2 kqpid + 2 q\d + 2ц2 - 2)]. (А.б)

Г

219 Для практически важного случая трехмерного пространства d = 3 это дает

Интеграл по частоте от произведения квадратов модулей функций Грина в выражении для однопетлевого вклада в парную корреляционную функцию (3.93) может быть вычислен в стационарном пределе ко —> 0:

L-м--я)»- (А-8)

Для "мексиканской шляпы" (гауссова вейвлета с п = 2) в трехмерном пространстве d = 3 интегрирование по угловой переменной // = cos в в случае одномас- штабной случайной силы (3.84) в выражении (3.97) приводит к следующему результату:

(А,)

где

.-и = (_х), (А.ю) 1 Ге-°б9 (2+І'-2І)

F(x) = ^ (-3-2а2оЯ2{-1-Зх + х2) + 2а4оЯ4{-1-2х-2х2 + 2х3)

1 rg-a§g2(2+i2-2i)

їх5 L a^g8

+ 2ao0^ это дает dqq4 lim ic(x) = ^ ^^

/0 1-.0 cv ' 80 a5 ' В ИК пределе эффективный коррелятор поля скорости стремится к пределу_ 0Ч =е// V ; 40 1/3^/2…