Приложение А вывод решений нормальных уравнений

Для нахождения оптимальной оценки, минимизирующей функционал критерия I, необходимо продифференцировать его по компонентам вектора оценки Ј[(t*) и приравнять полученные выражения нулю.

С целью сокращения выражений при выкладках примем нормирующие постоянные

сомножители в функционале I Ф®Оч|Ф?)Т, D*' равными единицам, с последующим

восстановлением их в конечных выражениях.

Это можно корректно сделать, принимая во внимание линейность их вхождения в I и 81

= 0 по компонентам

W)

независимость от c|(t*).

?ж

q(f) (обозначим для краткости q^ = Qg (Г)): д! _ д

dl = д dc\t 5q<

Zbp(tj.q(n.SB)-q®]TUp(ti.mse)-c^]fa[g?p(t-1q®1se)1-q,(P)]a

.Н

(А.1)

Ebp(ti.4(n.SB)-^]T["p(tj,q(n(se)-q®]] . e = 2~6. После дифференцирования и приравнивания нулю получим систему уравнений частных производных: - ct (t*. , S6 )1 - (t*)|= 0.

(A.2)

J=i

?{ (ti.q. Se)-q®] }=0,

t = 2,6, Обозначим, операторы перехода вектора состояния q между моментами времени tj и t через Ф(f.tp : q(t*) = Ф^,^) q^)

" N

Zl"i(ti.t*)Tbi(ti,t*)qct*)-q,fl]+a[q1a*)-"i(P1tj)q®]bO;

(А.З)

н

i>i(tir)TMjr)qttVqffl]=o,

выразим составляющие вектора I = 2,6 оценки с[(Г) из первого уравнения полученной системы (A3) через tf, (t*) и подставим во второе уравнение. Для компактности записи при последующих выкладках введем векторные обозначения: 0 ( N ^ N

Для составляющих векторов имеем ? I^f q) - ^Q,'. выделим в выражении

(-1V1-1

в f ы

составляющие с qi~cJi (t*), получим следующее выражение ]Г qk = IQ® J-1

J-1 при ? = 2,6 или в матричной форме записи:

llN'-FHq;;

!Н

N

Ci) 2k

h'

N

ti) 3k

И

=1 N

IFЦ j-I

N

J-i

SFg

J-1

N

?

Е<э?

1=1

H

ZQ®

i-1

N

~~ (j)

NN N N N г

V F^ V F® V F(A.4)

qi

Z-i Щ ц , ц

j=1 J=1 j=1 J=1 И

N N

M N

V F® V F® V F V F® VF® z j гег ZJ 63ZJ mZJ 65ZJ r66

ZQ

i ii J-""

In

Запишем последнюю формулу в матричном виде, введя обозначения для матриц

j=i j=i j-1 j-i

N

Z(Q?-Fs"!qi:

j=i к Щ *

!Чз *

коэффициентов: A, C, D: A

q4| = C-Dqi. Из этого уравнения можно записать:

.45'

hei q2 *

qs *

q4 *

q5

i *

q6

(A.5)

= A~1(C-Dqi) Запишем в матричном виде первое уравнение из системы (А.З): 0"Vf0)' Ф

ql q"

Qs

ЫЦг-ZQf

3=1

-ZQP+a j-I

= 0.

Запишем последнее уравнение в другом виде, выделив отдельно первую составляющую

*

элемента вектора оценки qi.

j-i j-i j=i HI j-i j=i

Я2 *

+ a Nqi = X [Q?* + aQf ] введем обозначение

NN NN N j! ЧЭ

i н н и м J! iq*

iqe N N

N N

M =

и воспользуемся равенством (A.5) для преобразования 1-1 М M H H

последнего выражения к виду:

+MA~1C-MA"1Dqi + а.Щ\ = +aQ?'] или

и

| (? F,®) - MA ~1D + aN ] qi = ? [q® + a'S? ]- MA "'C o

V J-i ) j-i

Ј[Q® +aQ?>]-MA-1C выразим из последнего уравнения параметр qi: qj = ,

(ZF/n-MA-D+aN

ы

Запишем последнее выражение, восстановив принятые равными единице нормирующие коэффициенты в функционале I: Ф^О^Ф^7, D^.