1.2. Последовательности для систем связи по технологии DS-CDMA
Используемые в современных системах CDMA последовательности предназначены в основном для расширения спектра и кодового разделения каналов и разделяются на псевдослучайные последовательности и ортогональные коды.
Основное отличие ПСП от ортогональных кодов состоит в том, что взаимная корреляция ортогональных кодов строго равна нулю. Поэтому их наиболее целесообразно применять в синхронных системах. В основном это прямые каналы CDMA. В DS-CDMA передатчике происходит расширение спектра информационного сигнала за счет его модуляции кодовой последовательностью. Соответственно на приемной стороне осуществляется обратная задача свертки принятого сигнала при его корреляционной обработке. При этом очень важно обеспечить низкую взаимную корреляцию между сигналами пользователей, ведущую к снижению интерференционных помех. С другой стороны для надежного и быстрого вхождения в синхронизм требуются последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами. В противном случае большие боковые лепестки автокорреляционной функции могут привести к принятию ошибочных решений и, как следствие, к увеличению времени вхождения в синхронизм. Кроме того, хорошие автокорреляционные свойства важны и для надежного разделения многолучевых компонент сигнала. Заметим, что АКФ и ВКФ ансамблей детерминированных последовательностей связаны таким образом, что в них невозможно достигнуть одновременно хорошей авто и взаимной корреляции, тогда как для ансамблей случайных последовательностей эти функции в достаточной степени усреднены. Примерами таких последовательностей являются т&ОММУ последовательности, свойства которых подробно рассматриваются в 2-й и 3-й главах настоящей диссертации.Используемые в системах связи последовательности условно можно разделить на линейные и нелинейные последовательности, а их символы на двоичные и недвоичные (соответственно бинарные и не бинарные).
В силу важности этих понятий приведем их определение так, как они даются в [13,18].Определение.
Линейной последовательностью памяти N над полем ОР(я) называется последовательность {ЬП}={ЬП : п=...,-1,0,1...} элементов поля вР(ц), в которой п-ый член связан с N предьщущими линейным разностным уравнением:
ч
Ьп=С1Ч-1Ьп.1+Сц-2Ьп-2+... +СоЬ„-К , (1 -5)
где коэффициенты С1€СР(я), а со*0.
Все, не удовлетворяющие данному определению последовательности, принято относить к нелинейным последовательностям [13]. Видное место среди нелинейных последовательностей занимают семейства нелинейных последовательностей с внешней логикой (ЫЬРРЬ), строящиеся на основе линейных последовательностей. В самом общем виде блок-схемы генераторов линейных и нелинейных последовательностей с внешней логикой представлены на Рис.1.1 и Рис.1.2. Здесь f(xi,X2,...,XN) есть линейная функция обратной связи, a g(xj,X2,...,XN) - нелинейная функция внешней логики. Впервые основные положения теории линейных и нелинейных последовательностей были изложены С. Голомбом в его монографии [13], изданной в 1962г. Однако позже выяснилось [19], что деление на линейные и нелинейные последовательности в достаточной степени условно, так как любая NLFFL последовательность над полем памяти N может быть, в конечном счете, сведена к линейной последовательности над полем памяти l
Для расширения спектра могут использоваться как бинарные, так и не бинарные последовательности. Не бинарные последовательности обычно имеют комплексные значения символов, имеющих одну и ту же амплитуду. Бинарные (2-х фазные) и четверичные (4-х фазные) последовательности более предпочтительны для систем с прямым расширением спектра, так как они хорошо сочетаются с BPSK, QPSK и О-QPSK методами модуляции, обычно используемых в DS-CDMA системах.Последовательности для систем с CDMA могут быть также короткими и длинными. Период коротких последовательностей равен длительности бита данных, тогда как период
24
длинных последовательностей занимает несколько бит информации. Короткие последовательности преимущественно используются в случае необходимости выбора последовательностей с приемлемыми взаимно-корреляционными свойствами, а также для минимизации сложности реализации многопользовательского детектора. Длинные последовательности, как правило, применяются для рандомизации межканальных взаимодействий и в целях скремблирования. Основная проблема при использовании коротких последовательностей заключается в минимизации значений выбросов их взаимной корреляции.
Сами DS-CDMA системы подразделяются на синхронные и асинхронные. В синхронных системах время начала излучения последовательностей расширения спектра для каждого пользователя одно и то же, тогда как в асинхронных системах эти времена в общем случае различны. По этой причине в синхронных системах (например, в прямом канале систем сотовой связи) могут быть использованы короткие ортогональные последовательности. Заметим, что действие многолучевости неизбежно приводит к нарушению ортогональности и соответственно к снижению пропускной способности. Обратные каналы сотовых систем напротив, как правило, асинхронны, хотя в широкополосных системах CDMA (WCDMA) обратные каналы предполагают делать также синхронными. Заметим, что в асинхронных каналах для расширения спектра могут применяться как короткие, так и длинные последовательности.
Примером могут служить обратные асинхронные каналы системы 2-го поколения cdmaone (стандарт IS-95), в которых для расширения спектра используются сдвиги m-последовательностей длины 2-1.Исследованию псевдослучайных последовательностей посвящено достаточно большое количество работ [13], среди которых в первую очередь необходимо назвать фундаментальную статью М. Персли и Сарватера, опубликованную в 1980г. и посвященную m и родственным им семействам последовательностей: Голда, типа Голда и Касами [20]. Интересно, что в этом перечне отсутствует не менее "родственное" т-последовательностям
семейство последовательностей Гордона, Милза, Велча, по-видимому, неизвестное авторам. В это же время, т.е. к 80-му году, в СССР был уже опубликован целый ряд работ по данным последовательностям, а также получены патенты на их применение [14,21,22]. Из последних работ следует выделить обзорные статьи [9,11,12,23-26], в которых перечислены основные характеристики (длина, мощность, максимальное значение взаимной корреляции и линейная сложность) наиболее известных и недавно полученных двоичных псевдослучайных последовательностей. К ним в первую очередь относятся бент-последовательности [4], последовательности Ноу [27], последовательности Кердока [28], оптимальные перемежающиеся последовательности 1МУ [29], норм-следовые последовательности 1ТЧ [30], ряд семейств последовательностей с идеальными автокорреляционными функциями [11,31] и т.д. К сожалению, из-за очень большого объема информации мы вынуждены ограничиться основными сравнительными характеристиками некоторых известных и новых двоичных последовательностей, представленными в таблице 1.1.
Строгое математическое определение и физический смысл каждого из вышеперечисленных параметров подробно раскрывается в последующих главах настоящей диссертации. Здесь же лишь уместно напомнить, что под мощностью множества последовательностей понимается их общее количество, а под линейной сложностью последовательности некоторую меру степени непредсказуемости ее символов.
Все вышеперечисленные параметры играют большую роль при выборе того или иного семейства последовательностей. Поэтому важнейшей задачей построения и анализа семейств последовательностей является оптимизация этих параметров с точки зрения требований CDMA. При этом необходимо подчеркнуть, что речь здесь идет не о случайных, а о псевдослучайных последовательностях, создаваемых в соответствии со строгой математической теорией. Действительно, как показывают исследования, короткие псевдослучайные последовательности обладают лучшими по сравнению со случайными последовательностями корреляционными свойствами. В случае же длинных последовательностей, несмотря на то, что корреляционные свойства случайных последовательностей статистически стремятся к оптимальным значениям, возникают значительные технические трудности, связанные с их реализацией.Наряду с разделением последовательностей на линейные и не линейные существуют и другие виды типизации последовательностей в соответствии с их характерными свойствами. Одним из них является свойство идеальной автокорреляции, относящее семейства последовательностей с двух уровневой периодической АКФ (ПАКФ) к последовательностям типа Адамара [32].
Условно все последовательности типа Адамара могут быть разбиты на три временные группы: до 1976г., с 1976 по 1997гг. и с 1997.
К последовательностям, полученным до 1976г., относятся:
m - последовательности длины 2N-1 [13];
последовательности квадратичных вычетов или последовательности Лежандра
длины v=4t-l, где v-простое число [32];
последовательности Холла длины v=4x2+27, где v - простое [32];
последовательности простых чисел-близнецов длины v=p(p+2), где р и р+2 - простые числа [32];
- последовательности Бомера-Фридриксена длины 127 [33].
К последовательностям, исследованным в период с 1976 по 1997гт. следует отнести последовательности Гордона, Милза и Велча длины 2N-1, N=mk, m>3, k>2. Эти последовательности впервые были получены в 70гг. [21,22,44] и с этого времени на протяжении более 20 лет непрерывно переоткрывались под другими именами [34-36].
Самое близкое по форме и по содержанию к нашему названию - это "последовательности GMW" , которое в целях сокращения в основном и будет использоваться в диссертации. К этой не лишенной курьеза теме мы еще не раз вернемся в последующих главах диссертации, когда речь пойдет о классификации последовательностей Гордона, Милза и Велча.И, наконец, к последовательностям, открытым после 1997г. относятся : - последовательности No-Golomb-Gong-Lee-Gaal длины 2N-1 , состоящие из [31]: - последовательностей Предположения 1 при N=2k+1 вида b1(t) = tг1N(a,) + ЦN(a(2k*,),) + tгlN(a(2k+2k',+,),) ; (1.6)
- последовательностей Предположения 2 при Ы=Зк-1 вида
Ь2 (0 = 1г,м (а1) + 1г,К (а<2' "*) + ц" (а<2*" ) + (а<2*"-21"+Т») +
+ 1г,м {а****-*) ; (1.7)
- последовательностей Предположения 3 при Ы=Зк-2 вида
Ь3 (I) = Ц" (а') + ц» (а'2"'*1*) + (а(2*К,+2М+,>) + ц" (а<2"'-2"+1> ) +
¦ Ц^а*^4*) ; (1.8)
последовательностей Предположения 4 при N=3к-1 вида
Ъ4(1) = 1г1Ч8(сг+1) + 1) , (1.9)
где %(\) для хеОР(2м) удовлетворяет следующему уравнению
Ь2а) = и-,К(Е(сг) ; (1.10)
последовательностей Предположения 5 при К=Зк-2 вида
Ь5(0 = Цм(ё(о,+1) + 1) , (1.11)
где g(x) для хбСР(2м) удовлетворяет следующему уравнению Ъ3(Х) = Ъ?Ш) . (1.12)
- последовательности гипер-овальной конструкции Сегре и Глайна 1-го 2-го типов [37];
- последовательности степенных функций Касами [38].
Интересное обобщение, относящееся к последовательностям Сегре и Глайна, сделал
Масчиетти [39]. В общем случае его конструкция сводится к следующему.
_ У
Пусть а есть примитивный элемент в СТ(2 ), п>3 и пусть к удовлетворяет
нод(к,п)= нод(к-1,п)=1 Рассмотрим отображение Г: ОР(2") -> ОР(2"), где ц»=хк+х. Тогда последовательность
5(0 =
О а' = хк + х, для некоторых х € СР(2П)
(1.13)
1, в противном случае
есть последовательность с идеальной автокорреляцией. При этом связь значений к с последовательностями Сегре и Глайна описывается следующей таблицей.
Таблица 1.2
Зависимость последовательностей Сегре-Глайна от параметра к
к Семейство
6 Сегре
к=2п+,/2+2г, г€{(п+1)/4,(Зп+1)/4} Глайна 1
к=3*2п+,/2+4 Глайна 2
Значительный вклад в исследовании новых идеальных последовательностей был сделан Доббертином, который свел все 5 семейств последовательностей Ыо-Оо1отЬ-Соп§-Ьее-Оаа! к одному более общему выражению, доказательство которого им было найдено совместно с Дилоном [39].
Предположение Доббертина Пусть а есть примитивный элемент в СР(2П) и к<п , нод(к, п)=1 и с1=22к-2к+1. Тогда
8(1) =
0 а' =(х + 1)а + х<,+1€ОР(2п)
1, в противном случае
(1.14)
есть последовательность с идеальной автокорреляцией.
Все эти поистине революционные результаты в значительной мере обусловлены колоссальными финансовыми и материальными инвестициями в развитии современных средств и систем беспроводной, сотовой и спутниковой связи и особенно систем мобильной связи 3-го поколения на основе технологии ОБ-СЭМА.