4.5 Поля Янга-Миллса
Для неабелевых калибровочных теорий с лагранжианом
L = (4.27)
W = д,А1(х) - д„Л1(х) + дГЬсЛ%х)АІ(хІ
где /аЬз - структурные константы калибровочной группы, д - константа связи калибровочного взаимодействия, уравнение Ланжевена строится по тем же пра-вилам, что и для скалярной теории.
Специфика проявляется в необходимости тем или иным способом фиксировать калибровку. Лагранжиан (4.27) приводит к следующему уравнению Ланжевена для неабелевых калибровочных полей А*(х):дАа(х т)
; + (-М2 + дЛ)А1(х, г) = v;(x, г) + и;(х, г). (4.28)
Здесь г)*(х, т) - случайная сила, a U°(:г, т) - нелинейное взаимодействие (использованы обозначения М.Намики [124], см. Таблицу 4.1),
U[A} = ^V°(A,A) + ^W°(A,A,A).
113 Стохастическая функция Грина, следующая из (4.28), содержит поперечную (Т) и продольную (L) части:
г«А(іл _ тцу(к)5аь t l^fysgb . . _ кцки пл __ кцки
- -ш + к? + -tu ' ) ~ ~ > ~
описывающие распространение поперечной и продольной компонент поля, со-ответственно. При этом продольная компонента (L), как следует из уравнения (4.28), не эволюционирует.
В литературе рассматриваются различные варианты регуляризации гауссовой случайной силы г)*, используемой для стохастического квантования калибровочных теорий. Различные модели используют различные виды нелокальности в корреляторе случайной силы [48], или введение конечной памяти по фиктивному времени [38]. Все эти модели обладают теми или иными недостатками: появлением дополнительных вершин в стохастической теории возмущений, сложностью вычислений, вызванной нелокальностью случайной силы, немарковостью случайных процессов, и т.д..
Мы же, используя многомасштабный формализм, как и в случае стохастического квантования скалярной теории, будем использовать случайную силу дельта- коррелированную по масштабному аргументу. Принимая во внимание, что продольная компонента стохастических полей Л°(х,г) не эволюционирует относительно фиктивного времени г, мы будем считать случайную силу чисто транс- версальной:
= (2-K)d5d(k1+k2)8(T1-T2)Tl,u(k1) х C^ai5(ai — a2)D(ai, k\).
Это своего рода фиксация калибровки, заменяющая явное введение фиксирующего калибровку члена в уравнение Ланжевена и не приводящая к появлению новых вершин в стохастической теории возмущений.
Для определенности рассмотрим глюонную петлю с двумя кубическими вершинами, см. рис. 4.4, в янг-миллсовской теории с калибровочной группой SU(N). Суммируя по индексам калибровочной группы (|сиЫ = д\ьС2\О0(к,ш)\2 ? J^^dNr(k,u,qMUk> (4.29) 114
Рис. 4.4: Однопелевой вклад в глюонный стохастический пропагатор где
-гП + q2 -г(и;-П) N(k,q) =
UK q) = V,KX(k, k-q, q)Tx,(q)V^(k - q, k, -q) (J^j* _ ^ . Как можно показать путем непосредственного вычисления тензорных структур и и интегрирования по "частоте" П, в случае одномасштабной случайной силы (3.53), вейвлетный фактор ф(ак), входящий в эффективный коррелятор случайной силы A(q), подавляет ультрафиолетовые расходимости. В обратном же случае малых к степенной фактор kn, также происходящий из базисного вейвлета ~ф{ак), смягчает инфракрасные расходимости. В этом смысле предлагаемая нами вейвлет-регуляризация отличается от известных моделей непрерывной регуляризации f ddyR\(d2)r](y,T), см. например [83]. Последний регуляризуют ультрафиолетовой поведение теории мультипликативным фактором е л*, содержащим импульс обрезания Л, но не затрагивают инфракрасное поведение теории. 115
Диаграмма Обозначение Формула
/WW с;1(к,т-т>) 6аЬ6(т - т') - + ^
/in^uv D^r-r1)
УаЬс[(кі - к2)\511К + (к2 - к3)ц5К\ - Ш^х]
ЗІцгаЬаІ 6 lift«Л +/ха7хЬ%Ал ~