7.3 Поле р-адических чисел
00
x = p"Y^,akPk, 0 < at < р, f Є Z. (7.4)
fc=0
143
Сложение и умножение р-адических чисел осуществляются по обычным правилам сложения и умножения полиномов, таким же образом определяются и ана-литические функции р-адического аргумента.
Любое рациональное (в частности, отрицательное) число может быть представлено в виде ряда (7.4); так-1 = (р-1) + (р-1)р+(р-1)р2 + .... (7.5)
Посмотрев на представление (7.4), которое можно считать определением р-адиче- ского числа, естественно спросить, а какая разница между р-адическим представ-лением, и просто разложением целого числа по произвольному, не обязательно простому, основанию р, скажем 2 или 10? Физическая интуиция не указывает нам на наличие здесь каких-либо существенных различий. Математический факт, однако, состоит в том, что только используя простые числа можно проиндексировать всевозможные топологии непрерывных многообразий и связать р- адические числа с геометрией [39]. Этот факт может иметь важное физическое значение. Можно бесконечно рассуждать о математических и метафизических аспектах квантовой физики на планковских масштабах, но результаты всех доступных экспериментов и наблюдений получены при энергиях во много раз ниже планковских. Таким образом, проверка соответствия между существующими и проверенными в своей области применимости теориями, такими как квантовая электродинамика, и будущими теориями, объединяющими все известные взаимодействия, включая гравитацию, может быть осуществлена только в непрерывном пределе. (Это, естественно, не является препятствием для чисто теоретических исследований в области планковских энергий, которые могут привести к космологическим следствиям.)
Не трудно убедиться, что р-адическая норма (7.3) является более сильной чем стандартная норма | • |.
Вместо неравенства треугольника для нее имеется более сильное ограничение\х + у\р < тах(\х\р, \у\р) < |х[р + \у\р. (7.6)
Функция расстояния между точками множества (метрика), определенная с помощью р-адической нормы
d(x,y) := \x-y\p, (7.7)
d(x, z) < max(d(x, y),d(y, z)) < d(x, y) + d(y, z),
влечет за собой неархимедову геометрию. Метрику (7.7) часто называют ультраметрикой [148].
144 Пространство Qp, с введенной на нем метрикой (7.7), является полным метрическим пространством. С помощью метрики (7.7) в поле Qp естественным образом определяются шар - множество элементов, находящихся от заданного элемента а Є Qp не более чем на заданном р-адическом расстоянии, и сфера - множество элементов находящихся от заданного элемента а Є Qp в точности заданном р-адическом расстоянии:
Ву(а) = {x:\x- а\р < р>}, ЗД = {х : - а\р = р^} . (7.8)
Оба они являются открыто-замкнутыми множествами в Qp. р-Адический шар является также абелевой группой по сложению. Геометрия, индуцированная р- адическим расстоянием \х — у\р коренным образом отличается от обычной евклидовой геометрии: все р-адические треугольники являются равносторонними; два р-адических шара не могут иметь частичного пересечения - они либо совпадают, либо один находится внутри другого.
Максимальное компактное подкольцо поля р-адических чисел Qp есть кольцо р-адических целых чисел
= {х Є Qp : \х\р < 1}. (7.9)
Поле Qp допускает положительно определенную аддитивную меру Хаара, которая используется для определения интегрирования над полем р-адических чисел. С точностью до эквивалентности, эта мера определяется соотношениями
d(x + а) = dx, d(cx) = \c\pdx, х, а, с Є Qp. (Т-10)
Izj,
Меру Хаара обычно нормируют таким образом, чтобы кольцо р-адических целых Zp имело единичный объем
dx = 1. (7.11)
Анализ функций из Qp в Qp строится аналогично обычному вещественному анализу. Так, экспонента х —> ех, х є Qp строится согласно своему разложению в ряд Тейлора
00 и
е* = У-
k=О
В р-адическом анализе не существует однозначного определения операции дифференцирования [227]. Для определения операции дифференцирования функций р-адического аргумента, как правило, используют преобразование Фурье,
145
определенное в Qp. С его помощью строится так называемый псевдо-диффе- ренциальный оператор Владимирова
Щ(х) - |к\рф(к).
Построение р-адического преобразования Фурье существенным образом основано на групповой структуре поля Qp, а именно, на групповой структуре аддитивных характеров этого поля, (7.12)
ХР(х) = ехр(2тгг{а:}р), *р(а + Ь) = ХР(а)хР(Ь), (где {х}р обозначает р-адическую дробную часть х: {х}р = aminpkmin + ... + a_ip_1). p-Адичєского преобразования Фурье определено следующим образом:
(7.13) Обобщение р-адического анализа на многомерный (векторный) случай также производится обычным образом:
Qp-^Qp, х —»(xi,.. .,хп), ?->(&,...,{„), = (7.14)