4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака

Намики и Ямонака [125] был предложен операторный формализм, превращающий метод стохастического квантования в гамильтонову теорию в пространстве (d + 1) измерений, в которой фиктивное время г уже играет роль обычного параметра эволюции для плотности распределения стохастических полей ф(х, т).

Пусть БЕЩ - евклидово действие некоторой скалярной теории поля в R4. Согласно методу СК, стохастическое поле ф(х,т) подчиняется уравнению Ланжевена (4.1). Плотность распределения амплитуд поля Р = Р[ф] подчиняется хорошо известному уравнению Фоккера-Планка (УФП) SSE ^ 5 '

"Т" "7Т

дР__ Г

дт~ J

Р. (4.3)

_ 5ф 5ф_

Стационарное решение УФП (4.3) имеет вид

5ф

SE[j>]

Р(х, t —> оо) ос е т , (4.4)

в котором роль температуры играет дисперсия случайной силы Т = а2.

Формальная аналогия между уравнением УФП (4.3) и уравнением Шредин- гера, позволяет ввести "гейзенберговские" операторы координаты и импульса в (d + 1)-мерном пространстве-"времени"

j

ф(х, т) = ф(х, т), 7г(х, т) = - (4.5)

дф(х, т)

После этого правая часть УФП (4.3) может быть записана как результат действия на плотность вероятности Р[ф] "Фоккер-Планковского гамильтониана"

Н = Jddx (-Цх, r)g + і2(х, т)^ . (4.6)

Операторы 7г и ф при этом удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям

[n(x,T)J(x',T)] = 5d(x-x'). (4.7)

На основании гамильтониана (4.6), считая все полевые операторы нормально упорядоченными, обычным образом строится теория возмущений. п-Точечные средние (ф(Х\,Ті) ... ф(хп, Tn))v, полученные путем усреднения по шуму в уравнении Ланжевена (4.1), теперь идентичны вакуумным средним (d + 1)-мерной

105

теории с гамильтонианом (4.6) от Т-упорядочения гейзенберговских операторов {Тф(хі, ті)... ф(хп, г„))0. Производящий функционал для функций Грина (d+1)- мерной теории, соответственно, может быть записан в виде функционального интеграла

W[J] = J VфV¦nefdixdт<^-c+Jф\ (4.8)

где "лагранжиан" (d + 1)-мерной теории получается из гамильтониана (4.6) с помощью преобразования Лежандра

5S

С = кф - Н = кф - 7Г2 + 7Г—. (4.9)

оф

Эквивалентность процедуры стохастического квантования d-мерной теории построению новой (d+ 1)-мерной теории (4.8) весьма привлекательно при решении проблем связанных с перенормировкой, а также при построении тождеств Уорда, связанных с калибровочными симметриями.