3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике 3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности
Статистическое описание развитой гидродинамической турбулентности основано на фундаментальных гипотезах Колмогорова [214] о самоподобии пульсаций турбулентного поля скорости различных масштабов.
Феноменологическая теория Колмогорова не дает математически строгого определения понятия "пульсация масштаба Г. Как правило, под пульсацией масштаба I понимают компоненту разложения Фурье турбулентного поля скорости с волновым числом к примерно равным у. Такое определение позволяет исследовать глобальные свойства развитой гидродинамической турбулентности, но, будучи основанным на преобразовании Фурье, является существенно нелокальным, и по этой причине фактически неприменимо для описания таких важных явлений как образование когерентных структур. Для исследования локальных свойств поля скорости развитой гидро-динамической турбулентности многими авторами были использованы различные типы разложения поля скорости по локализованным волновым пакетам и вей- влетам [228,123, 116,172, 57, 104, 199].Большинство работ по применению вейвлет-преобразования к развитой гидродинамической турбулентности посвящено либо анализу экспериментально измеренных турбулентных полей с помощью "вейвлетного микроскопа", позволяющего одновременно исследовать поле скорости на различных масштабах [172, 57, 199], либо численному решению уравнений Навье-Стокса с использованием дискретного вейвлет-преобразования [116, 150, 78, 159, 197]. Непрерывное вейвлет- преобразование, с использованием производных от гауссиана в качестве базисных вейвлетов, также применялось для уравнений Навье-Стокса с целью исследования распределения диссипации энергии по масштабам [104, 105]. На сколько известно автору, непрерывное вейвлет-преобразование до работ автора [193] не применялось ни к итерационному решению стохастических дифференциальных уравнений, ни в теоретико-полевом формализме стохастической гидродинамики [61, 187, 1].
Применение непрерывного вейвлет преобразования в формализме стохастической гидродинамики путем определения случайной посредством корреляционной функции коэффициентов ее вейвлет-разложения было впервые осуществлено в работе автора [195].В работе [195], на которой основан настоящий параграф диссертации, предложено итерационное решение стохастического уравнения Навье-Стокса со случай-
79
ной силой, определенной в пространстве вейвлет-коэффициентов, т.е. масштабных компонент силы. Основываясь на результатах работы [193], и определяя случайную силу в пространстве масштабных компонент, для специального вида узкополосной случайной силы, мы получили возможность устранить петлевые расходимости в стохастической теории возмущений для статистических моментов поля скорости. Этой возможностью мы обязаны расширению пространства квадратично-интегрируемых случайных функций до пространства случайных вейвлет-коэффициентов: при таком расширении могут существовать несколько различных случайных функций в пространстве масштабных компонент, образы которых в обычном пространстве L2(Јl,U, /л) совпадают.
В нашем описании вейвлет-коэффициенты щ(х) приобретают колмогоров- ский смысл локальных флуктуаций гидродинамического поля скорости масштаба I в точке х. Показано, что гипотезы Колмогорова, статистическое замыкание уравнений для моментов, формализм Уайльдовской диаграммной техники и другие элементы стохастической гидродинамики естественным образом обобщаются на случай многомасштабного представления гидродинамических полей посредством коэффициентов вейвлет-разложения. С точки зрения функционального анализа, построенный многомасштабный формализм для стохастического уравнения Навье-Стокса позволяет математически строго сформулировать гипотезы Колмогорова о поведении масштабных компонент поля скорости. Кроме того, введение в рассмотрение случайных процессов с корреляционной функцией явно зависящей от масштабов {щ(х)щ>(х')) = С(х,х',1,1') предоставляет новые возможности: устранение УФ расходимостей в теории возмущений без введения импульса обрезания, поправки к колмогоровскому члену диссипации энергии (uf/l).