1.2 Некоторые сведения из теории групп
Математической основой непрерывного вейвлет-преобразования является теория представлений групп Ли. Основы теории групп Ли и их представлений могут быть найдены в любом стандартном учебнике [171, 92, 223].
Ниже мы приведем лишь некоторые основные определения.Множество G с бинарной ассоциативной операцией • (умножением) называется группой если:
произведение любых двух элементов из G принадлежит G
Vg,g'eG:g-g'ЈG-,
в G существует единичный элемент е Є G, такой что
Уд eG: д-е = е- д = д;
для любого элемента Уд Є G, существует обратный элемент д~1 Є G, такой что
9' 9~l = 9'1' 9 = е.
Группа, которая также является дифференцируемым многообразием называется группой Ли. Непрерывные группы, рассматриваемые в данной работе являются локально-компактными сепарабельными пространствами.
Говорят, что группа G действует транзитивно в гильбертовом пространстве Н, если каждый вектор гр Є Н под действием этой группы отображается в Н: д : тр —> і// є Н. Отображение элементов группы д Є G в пространство унитарных операторов U(Н) называется представлением группы G в гильбертовом пространстве Н если:
U(gg') = U(g)U(g'), Vg,g'eG-,
U(e) = І.
Иными словами, представление группы есть такое отображение элементов группы в операторы, которое сохраняет структуру групповой операции.
Если группа Ли является также измеримым пространством, мы можем интегрировать по многообразию G используя левоинвариантную с1ць(дод) = dfxi(g), или правоинвариантную й[іц(ддо) = йу,ц{д), меру Хаара, соответственно.
18 Фундаментальный результат, позволяющий строить разложение произвольного вектора v Є Н в гильбертовом пространстве по представлениям группы Ли, формулируется в виде следующей теоремы [44, 55].
Теорема 1.1 Пусть U - квадратично интегрируемое унитарное представление сепарабельной локально-компактной группы G действующей в гильбертовом пространстве Ті, пусть d/i^g) - левоинвариантная мера Хаара на группе G; пусть ijj Є Н - допустимый вектор, т.е.
вектор гильбертова пространства Н, удовлетворяющий условиюСф = Шіа1{,ф'и{дШЧі1і{9) < 00 (L3)
(подразумевается || • || - Ь2-норма для векторов гильбертова пространства,
11/Цр = {/ \f(x)\pdx}p). Тогда, для всех v Є Н справедливо следующее разложение (подразумевается слабая сходимость интегралов):
v = С;1 [ (v, U{g)i})V{g)^dliL{g). (1.4)
Jg
Наиболее известным применением этой теоремы является разложение волновой функции по плоскими волнам, используемое в квантовой механике (смотри, например , [157, 218]):
і ф)=J \k)dm. (1.5)
Разложение (1.5), как это непосредственно видно в координатном представлении
(х\ф) = J (x\k)^m = J ехр (-.fcr)^(k),
представляет собой разложение по представлениям группы трансляций
х —> х + Ь, ехр(—гкх) —> ехр(—гкх) ехр(гкЬ).
Вопрос о том, что произойдет, если вместо группы трансляций использовать группу аффиннных преобразований
х' = ах + Ъ (1.6)
ставился различными авторами достаточно давно [30]. После многолетних усилий, это привело к созданию блестящего математического инструмента, который теперь принято называть непрерывным вейвлет-преобразованием (CWT). Наиболее существенный вклад в теорию непрерывного вейвлет-преобразования был внесен французскими математиками Морле, Гроссманом и Добеши [75, 79, 50].
Далее в данной работе мы используем стандартные ди- раковские обозначения, применяемые в квантовой механике:
ф ЄТІ —>\ф) векторы в гильбертовом пространстве
(ket-векторы)
ift —> (ф\ сопряженные им (bra-) векторы
(a,U(g)b) —> (a\U(g)\b) матричный элемент оператора
в гильбертовом пространстве (а\Ь) = (Ь\а) скалярное произведение
Используя дираковские обозначения, легко переписать разложение вектора в гильбертовом пространстве на языке квантовой механики. Действуя таким образом, мы немедленно приходим к известному в квантовой механике разложению единицы
И = [ ит)^-(Ф\иЧд)\у),
Jg w
или в операторной форме
1 = / U(gm^MW(9). (1.7)
Jg w