4.4 Многомасштабное стохастическое квантование

Применим уже описанный нами в 3.3 многомасштабный формализм для уравнения Ланжевена к задаче стохастического квантования. Следуя работам [193, 18,

109 196], см. 3.3, выполним непрерывное вейвлет-преобразование стохастических полей и случайной силы по пространственному аргументу (под пространственными измерениями х Є Rd мы, естественно, понимаем евклидово rf-мерное пространство исходной теории, а под временным - фиктивное время г):

2 f°° da f dd+lk л -

^ = СІ J0 о^+ї J (2тг)^1 ^^ ~ wr))a3^(ak)0(a, k).

Как обычно, мы используем (d+ 1)-мерные обозначения х = (х, г), к = (к,ш). Дельта-коррелированную случайную силу также определим согласно (3.47):

<7liaukjrj^h)) = C42-a)d+l5d+1{k1 + k2)ad+1S(a1-a2)D(a2,k2), , . <4(a,*)) = 0.

Обратное вейвлет-преобразование от этой случайной силы, как уже отмечалось ранее, совпадает с белым шумом при D(a, k) = const, и таким образом вос-производит обычный вариант стохастического квантования. После подстановки (4.17) в уравнение Ланжевена (4.11), приходим к стохастическому интегро- дифференциальному уравнению для полей ф(а, к, •):

+ к2 + к) = ^ к) _ Jfc^ J

ї>(аікі)ф(а2{к - k1))^(a1, к{)ф{а2, к - h).

. (4-19)

Используя аппроксимацию нулевого порядка для функции Грина фо(а, к) = Go{k)T]{a,k), где

= -ш + к2 + т2>

и итерируя уравнение (4.19), получим выражение для однопетлевого ОЧН вклада в функцию Грина

G(k) = Go(fc) + X2Gl(k) J A(q)\Go(Q)\2Go(k -q) + 0(A4), (4.20) где A(k) - усредненный по масштабам эффективный коррелятор (3.50):

А(к) = С^1^\ф(ак)\20(а,к).

Совершенно аналогичным образом могут быть вычислены и все старшие моменты стохастических полей. Таким образом, при переходе к многомасштабному описанию в формализме стохастического квантования, как в частном случае

110

решения уравнения Ланжевена со случайной силой (3.47), целиком воспроизводится обычная стохастическая диаграммная техника.

Ниже на Рис 4.2 приведены одночастично-неприводимые диаграммы дающие вклад в пертурбативное разложение стохастической функции Грина (4.20).

Рис. 4.2: Диаграммное разложение стохастической функции Грина для 03-модели

Аналогично стохастической функции Грина (4.20), однопетлевой вклад в стохастический парный коррелятор также может быть записан в (о, к) представлении:

(ф(аи к)ф(а/, -к)) = С(аи af, к) = С0(аи af, к) + \2С2(аи а/, к) + 0( А4), (4.21)

где

C0(auaf,k) = Д (k) |G0(fc) |2 (аіа/)^2^(аік)^(-а . Однопетлевой вклад в парный коррелятор равен

C2(auaf,k) = ^[Go(A;)|2(aia/)^(aik)^(-a/k) (4.22)

Одночастично-неприводимые диаграммы, соответствующие разложению стохастического парного коррелятора (4.21), изображены на рис. 4.3.

Рис. 4.3: Диаграммное разложение стохастического парного коррелятора в ф3- модели

Простым, но важным примером масштабно-зависимой накачки является случайная сила действующая на одном фиксированном масштабе (3.53):

D(a,k) = S(a-a0)D(k).

Ill В некотором смысле, введение такой силы эквивалентно переходу к решеточной теории с размером ячейки ао-

В качестве примера рассмотрим модель скалярного поля с взаимодействием фъ, используя при этом накачку на фиксированном масштабе (3.53) и выбрав в качестве базисного вейвлета "Мексиканскую шляпу" (3.54):

¦ф(к) = (2nf2(-ik)2 ехр(—k2/2), Сф = (2тг)а.

При этом мы получаем выражение для эффективного коррелятора силы

д(ч) = 2^Hlle-(<'°q)2Ј)(q). (4.23)

do

Нетрудно видеть, что петлевые интегралы, вычисленные с использованием эффективного коррелятора (4.23), не содержат ультрафиолетовых расходимостей. Инфракрасные расходимости также смягчаются благодаря степенному фактору (aoq)4. В самом деле, подставляя эффективный коррелятор (4.23) в выражения для однопетлевых вкладов в стохастическую функцию Грина (4.20) и в соответствующие выражения для парного коррелятора (4.22), получим:

G^) = G2(k)IG2, (4.24)

Г ddq f°° dn 1

J°2 J (2ir)d J2тт fi2 + (q2 + m2)2

-00

1 - ft) + (k - q)2 + m2 C2(auaflk) = ^|G0(A:)|2(aia/)d/2^(flik)V;(-a/k)/c2, (4.25)

= /(^А(ч)д(к-ч)/

А д , , л л ч f°° dCt 1

2тг П2 + (q2 + m2)2 1 x

(и — f2)2 + [(к — q)2 + m2]2' В случае накачки, действующей на одном фиксированном масштабе (4.23), экспоненциальный фактор входящий в эффективный коррелятор A(q) подавляет любые степенные расходимости, возникающие в ультрафиолетовом пределе.

112

стоте fi, получим:

dd q

Й/с2 = / (l^A(q)ЗДТ^) V + (к~q)2 + 2m2' (4-26)

f ddq 1 1

«Л C2 J (2тг)<* [q) 2(q2 + m2) ((k - q)2 + m2) ' q2 + (k - q)2 + 2m2'

Явное вычисление интегралов дает следующие частотные зависимости:

1 1 1

*G2 ОС — 7"— Ь

2В(А-В)-гш {и + гАУ + В2'

11 11

ІС2 ОС ; ... , „, +

2 А{ш + гА)2 + В2 2 В(ш-гВ)2 + А2' где

А = (к - q)2 + т2, В = q2 + т2.

Для теории ф4 и моделей с высшим полиномиальным взаимодействием описанные выше методы также имеют очевидное обобщение.