4.1 О методе стохастического квантования
Тесная связь между квантовой теорией поля и теорией стохастических дифференциальных уравнений привлекает внимание уже в течении нескольких десятилетий [127, 73]. Одним из наиболее интересных аспектов этой связи является метод стохастического квантования [140,190].
Стохастическое квантование (СК) представляет собой оригинальный способ квантования полевых моделей в d измерениях, идея которого состоит в том, чтобы представить рассматриваемую теорию поля в ^-мерном (Евклидовом или Минковского) пространстве в качестве равновесного предела некоторой (d + 1)-мерной статистической модели. Метод стохастического квантования был впервые предложен в работе Паризи и By [140].
(4.1)
дф(х, т) дт
с начальным условием ф(х,т = 0) = ф{х). Здесь БЕЩ - евклидово действие исходной теории, а т](х,т) - гауссов белый шум с нулевым средним, дельта- коррелированный как по обычным координатам, так и по фиктивному времени
(П(х, т)) = 0, (ф, т)т](х', г')) = 2аЧ{х - х')8{т - т'). (4.2)
103
Технически метод СК сводится к введению дополнительного, по отношению к имеющимся в исходной теории d измерениям, фиктивного времени т и замены квантовых полей исходной теории стохастическими полями в расширенном (d+ 1)-мерном пространстве, ф(х) —> ф(х,т). Эволюция стохастических полей относительно фиктивного времени т определяется уравнением Ланжевена
Динамическая система (4.1) эволюционирует под действием вспомогательной случайной силы г)(х,т), стремясь к полевой конфигурации с минимальной энергией, достигая ее в асимптотическом пределе т —* оо. Таким образом, исходная теория поля превращается в термодинамическую систему, взаимодействующую с тепловым резервуаром. При этом, в пределе термодинамического равновесия, ва-куумные средние исходной теории становятся эквивалентными термодинамическим средним стохастической модели. Можно сказать, что стохастическое квантование Паризи-Ву является одной из попыток заменить квантовое описание системы классической стохастической динамикой и, в этом смысле, близко к стохастической квантовой механике Нельсона [127, 207[, основанной на формальной аналогии между уравнением Шредингера и уравнением диффузии:
Л- - Ал/
d{it) 2m
&Ф
- = аАф.
Мы не будем предпринимать попыток найти корни квантового индетерминизма в индетерминизме классическом, а рассмотрим стохастическое квантование как технический прием, весьма полезный для устранения расходимостей и квантования калибровочных теорий.
Наряду с обычными методами - каноническим квантованиием и функциональными интегралами - метод СК представляется особенно привлекательным для квантования калибровочных теорий, поскольку не требует фиксации калибровки, как это было отмечено Паризи и By. Рассматривая стохастическое квантование как технический прием, необходимо потребовать, чтобы стохастическая теория воспроизводила все результаты, получаемые обычными методами, во всяком случае, в физическом секторе теории. Действительно, как было показано различными авторами [32, 190, 124, 93], калибровочно инвариантные величины, вычисленные методом СК, совпадают с обычными, вычисленными с помощью процедуры Фадцеева-Попова [224]. Что же касается калибровочно- неинвариантных величин, то термодинамический предел для них может просто не существовать, по крайней мере в рамках обычной теории возмущений. Кроме этого, процедура стохастического квантования, в основе которой лежит введение в теорию случайного процесса (а следовательно, связанной с ним меры), может стать основой для построения теории поля свободной от расходимостей с самого начала, вместо введения искуственных процедур регуляризации римановских интегралов в евклидовом пространстве.