4.1. Математическое ожидание критерия близости гистограмм
В связи с тем, что анализируемый сигнал Рщ(х,у)91 = {В,Т} является случайным, значения гистограммы = построенной по выборке из
этого сигнала, также будут носить случайный характер.
Как было показано выше, закон распределения значений соответствует биномиальному, параметры которого определяются выражениями:м[/щ{р)]=т, (4.1)
и Исходя из вышеизложенного, значение = {#,'/'} будет носить
также
случайный характер. Оценим величину при / = к, где / и к
- соответственно индексы классов, для которых считаются значения критерия Ф(.) согласно соотношению (2.32).
Для дальнейших рассуждений обозначим оценку плотности распределения значений сигнала Р^ (*,>'), являющегося отдельной реализацией, статистика которой определяется эталонной гистограммой /к. С учетом (2.31) (4.3)
м [ф* [f(k))]=и j [ffa (Г) - 2/w (/») • Л (/<) + f} (/')) мЬЫ]=I H'w^H^K -оо
Элементы, стоящие под знаком суммирования в выражении (4.4) соответствуют значениям дисперсии значений И/м и] -м [f® С)]-и* [/«И] <4-5> Таким образом, с учетом выражения (4.2) и (4.5) (4.6) В случае, когда / * к
(4.7) м [ф* (Aw)]:¦ ¦м 1 ifi<) С)" Ч) (р)' Л (р) * л2 -СО
Меняя местами знаки операций математического ожидания и суммирования с учетом того, что 00 4Ф*М]= \{M[f®ip)[-Wp)-h{p)+fiip'typ- с-9) -со Выражая из (4.5) с учетом (4.1): м [ф* (/(„)]= х (4-Ю) -ОС После упрощения полученного выражения, окончательный результат примет вид: V (4.11) 00 + -ОО Полученные в (4.6) и (4.11) результаты могут послужить основой для оценки значения разности значений математических ожиданий для м°Дели изображений, введенной в главе 2. В этом случае закон распределения fk соответствует нормальному, математические ожидания для целевого и нецелевого классов равны соответственно тт и тв, а среднеквадратичное отклонение для обоих классов одинаково и равно ае. Отсюда следует вывод о справедливости равенств со оо
-oo -co оо oo j Л И • (1 ¦- Л (ф!> - J f, (Р\¦ (I ¦- /, (Р))ЛР-, (4.12) J ft (/>)= I f,2(l')dr.
-00 -00 и, следовательно, величина искомой разности определяется по выражению: 00 Ч^ЫгЧ^Ы]- )m-mf*p с-13) -00 При раскрытии формулы квадрата разности в последнем выражении, перемене мест операций интегрирования и суммирования, а также с учетом второго равенства (4.12) оно преобразуется к виду: Чф*ЫМф*М- 00 00 (4.14) = 2\fi{P)il>-2\fl{P)-fk(P)iP.
Выражение (4.14) состоит из двух слагаемых. Целесообразно проанализировать значение каждого из них по отдельности, чтобы далее оценить значение всего выражения. Слагаемое 1. Подставив в первое слагаемое значения функции плотности распределения для нормального закона, получим:
tl Р, (4.15) 2 ]/,2 (/>)-оо
при выполнении замены переменной и = (Р-т,)/ае с учетом того, что J exp^-w2 |(1м = л/я и dР = ае dw, первое слагаемое будет равно: -00 (4.16) 2j/,2(/>)d/>~ 1 -<50 Слагаемое 2. При подстановке значений fi(P) и j\ (Р) значение рассматриваемого слагаемого составит
2Л (P-m,f + (P-mt) d Р. (4.17) г/ЛИ-ЛИ^-^/вр с -00
Далее, после раскрытия квадратов разностей в числителе показателя экспоненциальной функции и вынесения за знак интеграла константы, выражение (4.17) составит: 2 ]/,(Р)Л(Р)Л1> =
' —оо 7ГСГ 2 с -ехр d Р. J ехр 1 2Р2-2Р(т, + тк) 2а> г 2 . 2 х Щ +тк (4.18 -00
Введение в показателе экспоненциальной функции двух слагаемых (т{ + тк)1>/2 с противоположными знаками позволит выделить в показателе экспоненты полный квадрат. Тогда значение рассматриваемого слагаемого будет равно
2 ^ 2 2\ т, + тк (пц+щ) {ехр d/\ техр ехр (j2P-(ml + mk)/yl2f 2а Я<7, е У -00 2а'
Далее, вычислим значение второго слагаемого по аналогии с первым. По- и с учетом того, что У2Р-(т, + тк)/у12 еле введения новой переменной и = 2а„
( ( \ 2\
ч 1 2ст< J /
(1 /' = сг, (к/, значение второго слагаемого в выражении (4.14) примет вид: 1 оо (4.19) 2 J //(/>),Л(/>)4,/> = —т=ехР
Таким образом, значение искомой разности с учетом выражений (4.16) и (4.19) составит: -л
. (4.20) 1 - ехр Щ-Щ \ 2(5 е J
Найденное значение разности математических ожиданий (4.6) и (4.11) позволит в дальнейших исследованиях оценить степень эффективности использования квадратичного критерия близости с точки зрения снижения вероятности пропуска «цели» и ложной тревоги.