2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики

В квантовой механике эволюция вектора состояния во времени определяется из уравнения Шредингера (2.30). Точное решение уравнения Шредингера возможно лишь для очень простых систем, рассматриваемых в классических курсах квантовой механики, см.

Под квантовой теорией поля (КТП), в общем случае, понимают описание квантовых систем с бесконечными числом степеней свободы. Первоначально, КТП возникла как попытка квантового описания электромагнитного поля - квантовая электродинамика (КЭД). Классическое электромагнитное поле пред-ставляет собой систему с бесконечным - а вернее сказать, зависящим от точки, т.е. континуальным, - числом степеней свободы. Динамика электромагнитного поля описывается уравнениями Максвелла, имеющими волновые решения, а гамильтониан и лагранжиан электромагнитного поля могут быть представлены в виде интеграла от пространственной плотности энергии (функции Лагранжа, соответственно). Поэтому, уравнения Максвелла, определяющие динамику электромагнитного поля, могут быть получены минимизацией интеграла от плотности функции Лагранжа по пространственной области и временному интервалу, на котором рассматривается эволюция.

(2.37)

При этом, для получения релятивистски инвариантной теории, необходимо чтобы лагранжиан С(ф, дцф) был инвариантен относительно преобразований Лоренца. Кроме того, как выяснилось сначала в КЭД, а затем и при описании других физических полей, лагранжиан должен быть инвариантен относительно групп симметрии, связанных с внутренними степенями свободы, ответственными за данное взаимодействие - т.е. быть инвариантным относительно калибровочных преобразований.

Основываясь на этих достаточно общих принципах и используя разложение экспоненты ехр (j^M) в ряд, были построены пертурбативные разложения для вычисления матричных элементов перехода в КЭД, КХД и других полевых мо-

39

В общем виде, функционал действия поля, определенного в некоторой пространственно временной области D, записывается как интеграл делях.

на случай континуального лагранжиана L = f dxЈ(ф и разложении экспоненты в ряд, порядок действия полевых операторов ф(х) и ф(х'), отвечающих различным точкам х^х' пространственно-временного континуума Мі, не безразличен, а должен быть согласован с принципом причинности так, чтобы будущее зависело от прошлого, но не наоборот. Удовлетворение этих требований привело к появлению объектов весьма сингулярной природы, существующих в пространстве обобщенных функций определенных в пространстве Минковского R3.

Наличие мнимого множителя в экспоненте не позволяет рассматривать "меру" Фейнмана еъ^иф как вероятностную меру, определяющую вклад конкретной траектории в вероятность перехода начальной полевой конфигурации ф(0, х Є R3) в конечную ф(Ь,х Є R3). Существует, однако, простой прием, позволяющий перейти от корректно не определенной "меры" Фейнмана к корректно определенной мере Винера. Ведя комплексное время т = х4 = id, получим так называемую евклидову теорию поля, интегрирование в которой проводится по четырехмерному пространству с координатами (id, х\,х2,х2), которое формально имеет структуру евклидова пространства R4.

Производящий функционал евклидовой теории поля

(2.38) имеет положительно определенную меру. Евклидово действие Se[4>] получается из действия обычной теории, определенной в пространстве Минковского, путем перехода к евклидовым координатам. Скажем, для простейшей модели свободного нейтрального скалярного поля, описываемого в пространстве Минковского действием

переход к евклидовым координатам приводит к евклидову действию

(2.39)

Бе[ф]=\ L d*xE ({дтф)2+[Вф)2+т2ф^

40 РОССИЙСКАЯ ¦¦

г. * ГОСУДАРСТВЕННАЯ

В общем случае, когда лагранжиан системы имеет вид I БИБЛИОТЕКА р?

i=E где первый член представляет собой кинетическую энергию системы, а второй - потенциальную, переход к евклидовым координатам влечет за собой изменение знака лишь кинетического члена, оставляя потенциальный член без изменения.

В обычной теории поля с производящим функционалом

W[J) = J е*3[Ф]+1І*ї 3***Ъф (2.40)

матричные элементы составных операторов вычисляются путем взятия соответствующих вариационных производных от производящего функционала (2.40): (2.41)

j=о

in5J(x\). ,.8J(xn) Такая же производная от евклидова функционала (2.38) представляет собой п-й статистический момент случайной функции ф(хЄRd, •), вычисляемый для канонического ансамбля - постоянная Планка h играет при этом роль температуры кТ.