2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа
Квантовая теория поля обобщает теорию дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) в том самом смысле, в котором ДУЧП обобщают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, применяемых для описания классических динамических систем [74].
В классической физике состояние системы в момент времени t позволяет однозначно предсказать ее состояние в момент времени t+At если известны все координаты и импульсы в момент времени t. В квантовой механике состоянию системы отвечает не точка фазового пространства, а вектор в абстрактном гильбертовом пространстве состояний; при этом знание гамильтониана системы позволяет определить лишь вероятность перехода между состояниями, отвечающими различным векторам гильбертова пространства состояний, за малый интервал времени At. Таким образом, само понятие эволюции приобретает вероятностный характер.Принципиальным отличием описания квантовых систем от классического описания случайных процессов, является то, что вероятностное описание последних связано с неполнотой нашей информации об исследуемых процессах; квантовая же система, согласно принципу суперпозиции, находится в суперпозиции нескольких состояний: вероятность результата измерения, проведенного над си-стемой, определяется соответствующей амплитудой перехода между начальным и конечным состояниями. Значения наблюдаемых величин - энергии, импульса,
27
момента импульса и др. - в квантовой механике определяются собственными значениями соответствующих эрмитовых операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний. Таким образом, квантовое описание физической реальности потребовало замены аппарата дифференциальных уравнений, использу-емого для классических динамических систем и волновых процессов, на более общий формализм функционального анализа, в частности, теорию гильбертовых и метрических пространств.
Невозможность одновременного измерения координаты и импульса для квантовых объектов ведет к отсутствию у них классической траектории (q{t),p{t)), являющейся решением уравнений движения.
Например, в известном эксперименте с двумя щелями, электрон как бы переходит из начального состояния в конечное по всем возможным траекториям; при этом вклад каждой траектории в общую вероятность перехода определяется классическим интегралом действия, вычисленным вдоль данной траектории. Такая формулировка квантовой механики, называемая Фейнмановской, или формулировкой в терминах функциональных интегралов, позволяет провести параллели между квантовой теорией и теорией марковских процессов (126,127, 74, 215].Вместе с тем, задачи КТП оказались существенно сложнее обычных стохастических задач. Связано это с тем, что волновая функция задает не вероятность состояния, а ее амплитуду. Как следствие этого, (псевдо) мера Фейнмана, возникающая в интеграле по путям в КТП - в отличие от меры Винера для стохастических процессов - корректно не определена, а сами квантовые поля являются сингулярными (или обобщенными) функциями.
Нетривиальность построения теории квантовых полей, непротиворечивой с точки зрения функционального анализа, инвариантной относительно преобразований Лоренца, не нарушающей принципов причинности и унитарности, а также удовлетворяющей принципу соответствия при переходе к классическому пределу (Й—>0), привела к значительному числу математических и физических исследо-ваний, связанных с обобщенными функциями в гильбертовых пространствах, аксиоматической и конструктивной теорией поля [215]. Можно, однако, сказать, что решающий шаг в превращении теории поля из области математики в физическую теорию был сделан в начале 50-х годов прошлого века, с созданием методов теории перенормировок [204] и вычислением на этой основе лембовского сдвига и аномального магнитного момента электрона, с точностью совпадающей с экспериментом, как минимум, в пятом десятичном знаке.
Создание теории перенормировок и ее последующее применение к различным физическим моделям блестяще продемонстрировало, что КТП является работоспособной физической теорией. Отказ от концепции непрерывных и диффе-
ренцируемых траекторий элементарных частиц привел к пониманию того, что геометрия пространства-времени на малых расстояниях имеет фрактальный характер [59, 137]; самоподобие же, связанное с ренормализационной инвариантностью, подтвердило представление о фрактальной природе микромира.
Развитые математические методы, однако, не решили всех проблем, возникающих при вычислении амплитуд квантовых переходов: построенные процедуры регуляризации позволили лишь формально устранить расходимости в бесконечных рядах теории возмущений, но не дали ответа на вопрос, какой должна быть мера в пространстве состояний, чтобы построенная физическая теория с самого начала не содержала расходимостей.Важность этой проблемы трудно переоценить: существующие полевые модели, по сути, построены на теории квадратично-интегрируемых функций в (псевдо) евклидовом пространстве, они являются экстраполяцией теории классических полей, в частности, классической электродинамики, в квантовую область. Возникающие при такой экстраполяции сингулярности являются следствием неадекватности классической евклидовой геометрии уже на масштабах порядка комптоновской длины волны, а не на планковских масштабах. В операционном смысле сингулярности в КТП является математическим артефактом - любое измерение всегда приводит к конечному результату. Адекватная модификация метрической структуры исходного пространства функций позволила бы устранить расходимости с самого начала.
Простейшим вариантом такой модификации является переход к пространству кусочно-постоянных функций в решеточных моделях: никаких расходимостей при любом фиксированном значении шага решетки (а) быть не может; при переходе же к континуальному пределу (а—»0) расходимости устраняются с помощью формальных процедур регуляризации и связанной с ними ренормализационной группы. Решеточные модели, однако, не могут претендовать на роль физически адекватной теории, так как содержат искусственный параметр, шаг решетки (а).
Какова должна быть метрическая структура КТП в общем случае, так чтобы расходимости отсутствовали в теории с самого начала? Для ответа на этот вопрос проводятся различные исследования в теории метрических пространств, теории случайных процессов, связанных с этими пространствами. К физическим аспектам этих исследований относятся гиббсовские модели, стохастическое квантование калибровочных теорий, конструктивная и аксиоматическая теория поля в евклидовых пространствах.