Каналы с памятью.

Канал, в котором каждый символ выходной последовательности зависит как от соответствующего символа на входе, так и от прошлых входных и выходных символов, называется каналом с памятью.

Большинство реальных каналов является каналами с памятью. Одной из причин появления памяти является межсимвольная интерференция, возникающая из-за ограничения полосы пропускания канала связи. В этом случае каждый символ на выходе канала частично зависит от нескольких следующих друг за другом символов на входе (зависимость эта определяется импульсной характеристикой канала). Другой причиной могут быть перерывы в канале (например, вызванные появлением импульсных помех, замираний и т.п.), длительность которых значительно превышает длительность символа. В период действия перерыва вероятность неправильного приема резко возрастает и появляется последовательность ошибок, называемая пакетом.

В общем случае для канала с памятью можно ввести понятие «состояние канала». Тогда каждый символ последовательности на выходе канала будет статистически зависеть как от соответствующего символа на входе, так и от состояния канала в данный момент. Под состоянием канала в заданный момент можно понимать, например, вид последовательности входных и выходных символов вплоть до заданного момента. Так, отражается, в частности, влияние межсимвольной интерференции.

Простейшей моделью канала с памятью является модель

источника ошибок, предложенная Гильбертом. Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях - хорошем (состояние 1) и плохом (состояние 2). Первое состояние характеризуется отсутствием ошибок. Во втором состоянии ошибки появляются с вероятностью о (2)

Если при передаче элемента а, канал находится в состоянии 1, то при передаче следующего элемента аг+\ канал будет находиться в том же состоянии с вероятностью рп и в состоянии 2-е вероятностью Pi2=l - Рп.

Если же при передаче элемента а, канал находился в состоянии 2, то при передаче элемента он может находиться в том же состоянии с вероятностью р22 и в состоянии 1-е вероятностью Pi2=l - Р22- Матрицу переходов из состояния в состояние обозначим Р:

Если рп и р22 достаточно велики, но не равны между собой, то наблюдается тенденция к сохранению возникшего состояния 1 или 2, что имитирует канал с пакетами ошибок.

Вероятность появления того или иного состояния определяется из системы уравнений:

Pi + Р2 = 1; Р2Ф21 + РгРп = Рь

Р2ф22 + РГР12 = Р2;

где рь Р2 - соответственно вероятности того, что канал находится в состоянии 1 или 2. Отсюда pi = p2|/( р12 + Р21) и р2 = р^/С Р12 + Р21).

На графе (рис. 1.4) состояния канала изображены в виде кружков. Направленные стрелки обозначают переходы из одного состояния в другое.

Средняя вероятность ошибки в канале, описываемом моделью Гильберта, определяется выражением

Рош ср = Р2 ' Рош(2) = Pl2 ' Poiii(2)/( Pl2 + P2l)

Среднее число элементов на интервале времени, соответствующем плохому состоянию канала (средняя длина пакета ошибок), определяется по формуле

Іср. = Іі • (рггГ'-ргі = 1/ргі

і = I

где (р22),"1ф2і - вероятность того, что возникшее плохое состояние канала будет распространяться на і переданных элементов. Аналогично можно определить и среднюю длину интервала между ошибками:

оо

Іин.ср. = Еі • (Pi l)'"lePl2 = 1/Pl2

i* 1

где (piі)1"1 P12 - вероятность того, что хорошее состояние канала будет длиться в течение времени передачи і элементов.

Для выбора кодов необходимо знать вероятность появления t ошибок в кодовой комбинации длиной п элементов, которая может быть найдена по формуле

P„(t)= EP<2)(i,n)-Pn(t/i),

где P(2)(i,n) - вероятность того, что число элементов в кодовой комбинации, переданных за время плохого состояния канала, равно і;

Pn(t/i) = Сп [роп/2*]' • П - Рош(2>]' ' ~ ВЄрОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЄНИЯ t ОШибоК В

кодовой комбинации при условии, что число элементов КОДОВОЙ комбинации, переданных за время плохого состояния канала, равно і.

Полагая, что в кодовой комбинации длиной п элементов возможно появление только одного пакета ошибок, получим

Р(2)(1,п) = р2 р2| (рпГ3 • [2ри + p2.-(n-l)J;

P(2>(i,n) = р2 р21 (р22)М(Р..)п""2 • [2р,, + p.r(n-i-l)], 2P(2)(n-l,n) = 2-p2 р21 (p22)n'2;

P(2)(n,n) = p2 (риГ1.

Рассмотренная модель описывается тремя параметрами: рош(2\ Рі2> Р2ь которые могут быть найдены экспериментально.

Элиот [30] обобщил модель Гильберта, введя дополнительный параметр. Для хорошего состояния 1 он ввел РошП) (Рош(,) <<: Рош(,))- Кроме того, он же предложил в сложных случаях представлять дискретные каналы совокупностью отдельных компонентов, каждый из которых имеет четыре параметра. Для самого сложного случая Элиот использовал три обобщенных канала Гильберта, что потребовало задания 12 параметров.

Другого рода обобщением модели Гильберта является модель Смита-Боуэна-Джойса [31]. Эта модель определяет не только пакетирование ошибок, но и группирование пакетов. В этой модели три состояния: одно - "плохое" с вероятностью ошибки, близкой к 0.5, а два других - "хороших" с малыми вероятностями ошибок. Переход из одного "хорошего" состояния в другое "хорошее" запрещен. Матрица переходных вероятностен для этой модели записывается в следующем виде:

( Ри 0 різ >

Р = 0 р22 Р22 . \Р31 Р32 РЗЗ /

Условие формирования пакетов: Р]3 « Р2з-

Наиболее общей моделью является модель Фричмана-Свободы [32], которая предполагает число состоянии канала связи произвольным, что позволяет добиться наиболее высокой адекватности этой модели с реальными каналами связи.

Известна модель Беннета-Фройлиха [29], которая имеет три параметра: вероятность появления пакета ошибок, распределение продолжительности пакетов и вероятность ошибки в пакете. Пакеты ошибок появляются независимо друг от друга.

Еще более простая модель источника ошибок, для описания которой достаточно двух параметров рош и а, где а - коэффициент группирования ошибок, предложена Л.П. Пуртовым [33]. При анализе статистики ошибок в каналах связи было замечено, что график функции Pn(t>l) = ф(п) в логарифмическом масштабе по обеим осям представляется в виде прямой линии. Исходя из этого:

Pn(t>l)-pomnba50

Pn(Описанные выше модели дискретного канала используются для вычисления характеристик систем. При выборе той или иной модели следует исходить из требуемой точности расчетов. Разумеется, если имеется несколько моделей, обеспечивающих приемлемую точность, следует выбирать ту из них, которая позволит уменьшить время, требуемое для вычислений, т.е. наиболее простую.

Все вышеописанные математические модели дискретного канала связи не отражают физики процесса, протекающего в среде распространения. Этим объясняется недостаточная адекватность такого рода моделей реальным каналам связи во многих случаях, когда ситуация отличается от штатной. Реальный радиоканал отличается многообразием условий распространения сигнала и наличием различного рода аддитивных помех. Классифицировать все возможные ситуации, которые складываются на практике при проведении вычислительных экспериментов с помощью рассмотренных моделей, не представляется возможным. Поэтому при моделировании дискретных каналов связи более предпочтительными являются модели отображения аппроксимаций непрерывных каналов, математический аппарат которых более явно описывает физику протекающих в канале связи процессов.

Каналы с памятью.

Еще по теме Каналы с памятью.: