1.1 Об истории вейвлет-преобразования
Слова вейвлет и вейвлет-разложение были введены французским математиком Ж. Морле сравнительно недавно, в начале 80-х годов прошлого века. В первых работах Гроссмана и Морле рассматривалось применение вейвлетов для анализа геофизических сигналов в нефте- и газо-разведке [119, 80].
С математической точки зрения вейвлет-разложение представляет собой разложение квадратично интегрируемой функции по представлением группы масштабных преобразований xf = ах+Ь [118, 228]. С этой точки зрения можно сказать, что прототип вейвлет- преобразования использовался уже в начале прошлого века в работах по кван-товой механике и квантовой оптике - в работах Вейля, Гейзенберга и Клаудера. Само же слово вейвлет связано лишь с конкретным видом базисной функции, использованной в первых геофизических работах, и напоминавшей маленькую уединенную волну на поверхности воды - les ondelletes. К настоящему времени вейвлет-преобразование является наиболее часто используемой и эффективной техникой анализа сигналов и изображений, наиболее предпочтительной альтернативой преобразованию Фурье, особенно в случаях, когда исследуемые поля и сигналы представляют собой сумму флуктуаций различных масштабов.Преимущества вейвлет-преобразования, которые проложили путь к широкому практическому применению вейвлетов [118, 228] в теоретическую и математическую физику, были очевидны уже Д. Габору [67], построившему оконное
13
преобразование Фурье Windowed Fourier Transform (WFT, ОПФ)
/
00
exp{-iut)f(t)g(t - r)dt (1.1)
¦00
для локального спектрального анализа сигналов в радиолокации. Локальность оконного преобразования Фурье обеспечивается быстро спадающей оконной функцией д(х) '^L»00 о# Несмотря на несомненные практические преимущества, в срав-нении с обычным преобразованием Фурье, сама идея ОПФ страдает серьезным недостатком: преобразование (1.1) плохо различает гармоники с длинной волны превосходящей ширину окна функции д(х).
В обратном же случае, когда имеется короткий сигнал содержащий высокочастотные компоненты, требуется большая ширина окна и, следовательно, большее число осцилляций исследуемого сигнала внутри окна. В этом случае, когда сигнал содержит значительное число гармоник с соизмеримыми амплитудами, численная процедура восстановления сигнала из габоровского разложения становится неустойчивой.Для решения проблемы требуется такое разложение, при котором низкоча-стотные сигналы будут анализироваться функцией с широким носителем (окном), а высокочастотные - функцией с узким носителем. Разложение, удовлетворяющее этим требованиям было независимо предложено несколькими авторами в начале 1980-х годов [118, 228]. Вслед за первыми работами появился большой поток различных приложений, а построенное преобразование получило название вейвлет-преобразования. Позднее техника вейвлет-преобразования была развита Гроссманом и Морле, Гоппило, Добеши и другими авторами [80, 75, 50].
С технической точки зрения, вейвлет-разложение представляет собой набор сверток исследуемого сигнала с одной и той же анализирующей функцией, но - в отличие от ОПФ - сдвинутой (т) и растянутой (а):
Wi(t,a)f = J (^j f(t)dt (1.2)
Как выяснилось, преобразования такого типа уже давно применялись в мате-матической физике: они представляют собой разложение функции f(x) по представлениям аффинной группы х —» ах+Ь. Такое разложение использовалось уже в начале XX века Г. Вейлем в квантовой механике [181].
Мощь и красота вейвлет-преобразования проявляются в применении к фрактальным и самоподобным объектам. Это не удивительно. При применении любого функционального преобразования к физическим задачам, наилучшие результаты достигаются именно тогда, когда свойства симметрии задачи совпада-
ют или близки к свойствам к симметрии применяемого преобразования. Именно по этой причине преобразование Фурье наилучшим образом работает именно для однородных - инвариантных по отношению к сдвигам - задач, а разложение по сферическим функциям применимо для задач со сферической симметрией; но никак не наоборот.
С появлением первых работ, связанных с вейвлет-преобразованием, значительное внимание уделялось вейвлет-разложению случайных процессов, таких как турбулентность и броуновское движение. Практически невозможно перечис-лить все работы по данной тематике; значительная часть первых работ в этом направлении, прежде всего связанных с физикой турбулентности, приведена в монографии [135]. Регулярное введение в применение вейвлет-разложения для описания турбулентности можно найти в работах [57, 159]. Некоторые интересные результаты применения вейвлет-преобразования в физике атмосферы и океана приведены в [199]. Вероятностные аспекты вейвлет-преобразования рассмат-ривались в работах [172,173, 90,13, 45, 109], а также во многих других работах, связанных с анализом турбулентных сигналов в гидродинамике и геофизике.
К теоретико-полевым работам, несмотря на известную связь между евклидовой теорией поля и теорией случайных процессов, непрерывное вейвлет-преобразо- вание фактически не применялось, за исключением работ связанных с численным моделированием полевых моделей [82, 36], попыток использовать дискретное вейвлет-преобразование в теории калибровочных полей [58] и кластерных разложений с использованием дискретного вейвлет-преобразования [31]. В связи с исследованием свойств мультифрагментации в ядерных взаимодействиях, вей- влеты также применялись к анализу множественного рождения частиц в ядерных экспериментах [2, 208, 209].
В течение последних 10 лет автором предпринимались попытки использовать вейвлет-преобразование в квантовой теории поля путем непосредственной подстановки непрерывного вейвлет-разложения в функционал действия, как это делают в обычной не релятивистской квантовой механике [11, 84]. Такой подход, несмотря на очевидные достоинства, связанные с регуляризацией потенциалов, не может полностью решить проблему расходимостей в квантовой теории поля, так как при переходе от квантовой механики к теории поля интегрирование проводится по той же мере Винера, что и в обычных моделях, остаются проблемы с упорядочением операторов.
В представляемой диссертационной работе непрерывное вейвлет-преобразование используется не только для представления квантовых полей и случайных процессов в виде суперпозиции флуктуаций различных масштабов, но и для задания корреляционных свойств соответствующих случайных процессов. Этот
метод является принципиально новым, так как позволяет модифицировать меру интегрирования в характеристическом функционале и, при должным образом выбранном корреляторе случайной силы, устранить петлевые расходимости в пертурбативном разложении. Возможно, петлевые расходимости в полевых моделях следовало бы считать математическим артефактом интегрирования по од-нородной мере плоских множеств, связанной с евклидовой метрикой. С физической точки зрения, даже в рамках нерелятивистской квантовой механики, не существует убедительных аргументов в пользу того, что на расстояниях меньше комптоновской Ас = ^ (а не планковской!) длины петлевые интегралы
отвечающие евклидовой метрике в пространстве Rd, адекватно описывают физическую реальность. Вместе с тем, значительные успехи решеточных моделей (основанных на связи между КТП и моделью Изинга), в которых - для каждого фиксированного шага решетки - никаких расходимостей нет, указывают на то, что задачей первостепенной важности является поиск такой меры интегрирования, которая отвечала бы основным принципам квантовой механики, была бы релятивистски инвариантна и, вместе с тем, адекватно описывала бы фрактальные свойства пространства-времени на расстояниях меньших комптоновской длины волны. Идея такого подхода высказывалась еще Р. Фейманом и была развита Е. Нельсоном [127] для случая нерелятивиской квантовой механики. Четкая физическая схема, позволяющая релятивистски инвариантным образом обобщить этот формализм и связать его с формализмом РГ была предложена в работах Л.Нотталля [131]; к сожалению, попытки обобщить идеи Л.Ноталля на калибровочные теории [132] пока не представляются математически состоятельными.
Отдельным важным направлением в КТП представляется метод стохасти-ческого квантования калибровочных теорий, предложенный Паризи и By [140] и развиваемый многими авторами.
Косвенным аргументом в пользу необходимости стохастического подхода является отсутствие на сегодняшний день каких либо серьезных экспериментальных подтверждений существования частиц Хигг- са, введенных в КТП лишь для того, чтобы устранить возникающие петлевые расходимости в калибровочной теории с массивными частицами.Отличительной чертой представляемой диссертации является использование непрерывного вейвлет-преобразования для задания корреляционных свойств случайных процессов. Этот прием применен как в квантовополевых моделях, так и к описанию классических случайных процессов, таких как стохастическая динамика границы раздела фаз и развитая гидродинамическая турбулентность.
16 В последнем случае, корреляции между флуктуациями различных масштабов, описываемыми с помощью вейвлет-разложения, непосредственно доступны экс-периментальному изучению - их существование не требует дополнительных теоретических аргументов.