7.1 Геометрия и числовые поля в физике
Результаты любых физических измерений всегда выражаются в терминах рациональных чисел. Происходит это хотя бы потому, что любое измерительное оборудование обладает конечной точностью, пределом которой служат ограничения, налагаемые принципом неопределенности Гейзенберга.
Следующий шаг - переход к полю вещественных чисел - является теоретической абстракцией, спра-ведливой на больших (классических) масштабах. Геометрия на самых малых, планковских масштабах, где существенны квантовые гравитационные эффекты [182] нам не известна. Существует убеждение, что геометрия малых расстояний должна быть не-архимедовой. В самом деле, кто и посредством какого экспери-мента может сравнивать расстояния на масштабах квантовой гравитации?К настоящему времени стало также понятно, что евклидово пространство R3, объединенное со временем в четырехмерное псевдо-евклидово пространство Минковского М3, используемое в квантовой теории поля, является не более чем математической аппроксимацией реального физического пространства [152,102]. Для того, чтобы убедиться насколько хороша или плоха эта модель, необходимо проверить в реальных физических экспериментах геометрические аксиомы евклидовой геометрии. Для проверки этих аксиом, в первую очередь аксиомы Архимеда, необходимо с высокой точностью измерять длины отрезков. Квантовые гравитационные эффекты налагают принципиальное ограничение на точность
таких измерений: Ах > In, где In = JЩ- ~ 10-33см - планковская длина. Из-
141
мерение длин меньших планковской, следовательно, не возможно. Пространство на малых масштабах как бы становится гранулированным, и обычные концеп-ции евклидова пространства оказываются, как минимум, под вопросом [163,141]. Аналогичные рассуждения применимы и к сравнению временных интервалов - здесь можно предположить существование неделимого интервала времени, хро- нона [154, 42].
С другой стороны, существует более строгое (хотя, возможно, и более метафизическое) требование, что законы физики должны выражаться на языке не зависящем от координат, т.е. должны быть выражены в виде некоторых отношений между объектами и множествами (см. например обзор [60]). Эта система отношений - квантовая топология - до сих пор не известна; вопрос, может ли быть построено самосогласованное описание такого типа или нет, является скорее философским, чем физическим. Существуют, однако, достаточно простые математические модели, приводящие к неархимедовой геометрии и используемые в квантовой теории поля. Эти модели описывают именно такую ситуацию, когда сравнение длин не определено. В не очень строгом смысле можно сказать, что в основе всех таких моделей лежит идея о том, что любое множество физических объектов можно проиндексировать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел. Одной из разновидностей таких моделей является р-адическая геометрия, где физические объекты индексируются с помощью р-адических чисел [227].