1.6 Дуальные вейвлеты
Важной модификацией непрерывного вейвлет-преобразования является использование двух различных базисных функций, для прямого и обратного вейвлет- преобразования, соответственно. Если две различные функции ф\ и фі удовлетворяют условию взаимной допустимости 0 < |С^2| < оо, где
(1.26) вейвлет-разложение функции / Є L2(R) может быть представлено в виде
(1.27)
25
где №ф1(а,Ь)[/] - вейвлет-преобразование функции / выполненное с базисным вейвлетом ф\.
В этом случае, функция ф2, называется вейвлетом, дуальным к Аналогично выражению (1.27), скалярное произведение двух функций f,g Є L2(R) может быть записано с использованием с использованием дуальных вейвлетов(1.28)
Заметим, что дуальные друг другу вейвлеты ірі и могут иметь совершенно различные свойства: один из них, например, может быть гладким, а другой - не дифференцируемым; или условие допустимости (1.20) может не выполняться ни для одного из дуальных вейвлетов, взятых по отдельности. Подробное рассмотрение вейвлет-преобразования с использованием дуальных вейвлетов и условий его применимости можно найти в [87, 52].