4.1 Дискретное вейвлет-преобразование
Казалось бы, что идеальный инструмент анализа сигналов любого вида получен. Но, к сожалению, концепция непрерывного вейвлет- преобразования обладает своими недостатками. Параметры ваий формуле (5) меняются непрерывно, что приводит к избыточному представлению спектра сигнала.
В некоторых задачах это несомненно является плюсом, кроме того благодаря своей избыточности спектры непрерывного преобразования достаточно наглядны. Однако платой за эту избыточность является сравнительно невысокая скорость выполнения преобразования, требующая вычисления интегралов для каждого из значений обоих параметров а и Ь. Хотя в случае гауссовых вейвлетов интегрирование может быть выполненно аналитически, тем не менее в общем случае это не спасает от избыточности представления, и как: правило соответственно невысокой скорости его выполнения. Кроме того, поскольку на практике все сигналы, с которыми имеют дело физики, и нетолько физики, имеют дискретную природу, то вопрос о целесообразности применения масштаба вейвлета, покрывающего к примеру полторы точки. исходного сигнала остается открытым. Таким образом, мы видим, что более употребительной при компьютерных вычислениях с реальными данными должны быть дискретные вейвлет-преобразования. Необходимая дискретизация значений а и b осуществляется следующимобразом: а = а™,6 = na™;m,neZ (6)
Видно, что с увеличением масштаба увеличивается и размер сдвига функции, поскольку интуитивно понятно, что при анализе с большим масштабом, более мелкие детали игнорируются. Дискретное вейвлет преобразование строится с помощью кратномасштабного анализа (МА — Multiresolution analysis), впервые описанного Маллатом (Mallat).
Основная идея MA состоит в представлении сигнала в виде совокупности его последовательных приближений. Теория кратномасштабного анализа относится к теории функциональных пространств. Под кратномасштабным анализом понимается описание пространства L2(R) через последовательность непересекающихся иерархически вложенных подпространств Vm, объединение которых в пределе дает описываемое
пространство..
I ^т = Y =mfcZ meZ
Эти пространства должны обладать следующим свойством: Для любой функции /(х) е Vm принадлежащей подпространству, её сжатая версия должна принадлежать подпространству /(2х) е VmA. Еще одно необходимое свойство, что существует такая функция ф(х) е V0, сдвиги Фом*) = ~ л)>« е г которой образуют ортонормированный базис пространства. Из этого вытекает, что набор фтл (*) = ТтП ф{2'т х~п)
функций образует ортонормированный базис соответственно пространства Vm. Следовательно, любая функция из L2(R) может быть представлена как предел к которому стремятся ее аппроксимации fm(x) в пространствах Vmr т.е. как видно мы имеем возможность анализа функции на различных масштабах. Фундаментальным, и до некоторой степени удивительным выводом кратномасштабного анализа является факт связи между вейвлетами и банком фильтров.
Действительно: = =2in^hJ_l„{x) = 2^hJ(2x-n) (7)
я п
Уравнение (7) показывает эту связь и называется масштабирующим уравнением. Вейвлет-фунция возникает при рассмотрении дополнения одного из подпространств Vm до под пространства Vm.j~Vm0 Wm. Базисную функцию обозначим через Очевидно, что поскольку Wm содержится в Vm.j, то у можно представить как разложение.
tt
Итак, для дискретных сигналов концепция ДВП состоит в следующем: вместо первоначального набора х, коэффициентов мы получаем совокупность наборов, {{$*},{{dj_„}}} которые и являются вейвлет-преобразованием сигнала, причем в отличие от избыточного спектра непрерывного преобразования, количество полученных коэффициентов равно их количеству в исходном массиве данных. Коэффициенты s®„ - называются коэффициентами аппроксимации, a dIM ~ деталями, соответствующими уровню разложения j. В итоге дискретное вейвлет-разложение функции выглядит как: (обозначения немного изменены для удобства)
JL —
2l L V
Axi) = S (xi) +X Xdjk (*.¦) (8;
?«1 j=1 k=1
Соответственно, один шаг подобного преобразования выполняется путем свертки в парой фильтров, в соответствии с диаграммой.
Рис. 13. Один шаг вейвлет разложения. При каждом шаге разложения, сглаженная версия сигнала, разлагается на новую, еще более сглаженную версию. Каждый из массивов вполовину меньше предыдущего. Итерируя эту процедуру, получаем разложение вида (8). Как уже упоминалось, выбор вейвлет-функций, по которым будет произведено разложение в результате итерационной процедуры, зависит от применяемых фильтров. Критериями для выбора фильтров и
sO - original signal
s1 - approximation | d1 - details
s2
d2 - details!
s3 j d3 |
Рис. 14 Схема вейвлет разложения, соответствующих им вейвлетов могут служить, например, желание получить разложение по симметричным и ортогональным вейвлет- функциям. К сожалению, доказано, что все, за исключением простейшего вейвлета Хаара, ортогональные наборы вейвлетов несимметричны. Максимально симметричными из семейства ортогональных вейвлетов являются так наз. койфлеты, но они для сохранения первых М моментов сигнала имеют фильтр длиной в полтора раза больше, чем семейство вейвлетов Добечи (т.е. ЗМ вместо 2М, как у Добечи).