1.5 Анализ локальной регулярности
Локальное изменение дифференцируемой функции fix) прямо пропорционально изменению ее аргумента
fix о + Ах) - fix0) = fix о) Ах + 0(Д я2). В общем случае, для измеримой, но не дифференцируемой функции, предел
ІІШ /(*о + Аж)-/(зг0)
Дх—»о Ах
может не существовать.
Во многих физически важных случаях приращение функции fixo+Ax)—fixo) пропорционально некоторой, отличной от единицы, степени приращения аргумента Ах. Хорошо известными примерами являются: измеряемый сигнал поля скоростей развитой гидродинамической турбулентности [177], финансовые временные ряды [180,167], трафик в Интернете [129] и другие приложения. В этом случае, т.е. когда имеется линейная в логарифмических координатах зависимость между приращением функции и приращением ее аргумента\fix0 + Ax)-fix0)\~\Ax\h, (1.23)
говорят, что функция fix) имеет показатель Липшица-Гельдера равный h.
Для сильно нерегулярных недифференцируемых функций изучение регулярности коэффициентов вейвлет-разложения часто проще чем исследование самих функций [29, 121, 177]. Следующая теорема, сформулированная и доказанная М.Холшнейдером и П.Тчамичаном [87], позволяет определить экспоненту h используя вейвлет-коэффициенты.
Теорема 1.2 Пусть fix) ограниченная локально интегрируемая функция, такая, что
fix)-fix0) = Oi\x-x0\h),
и
Щ(а,Ь)[П= J ^Ф f(x)dx
есть ее вейвлет-преобразование, где ф допустимый вейвлет, удовлетворяющий условию регулярности
jйхі\ + \х\)\фіх)\ < оо.
Тогда
Wi,ia,x) = Oiah+i) (1.24)
внутри конуса \х — хо| < const.
Доказательство этой теоремы, опущенное здесь, основано на формуле (1.25)
\?ф(а,ЬМЩ = \-^2W4Xa,Xb)[f(t)}, примененной справа налево
\Уф{Ха,ХЬ)[!{х)] = л/ЛИ^,(а,6)[/( Ах)] для однородной функции степени а{хо) в точке х0
I(Xx)\x=xo = Xa^f(x)\x=xo.
\X=XQ-
Существенно, что анализ локальной регулярности, основанный на Теореме 1.2, не зависит от конкретного вида базисного вейвлета. На практике анализ локальной регулярности обычно производится путем построения графика зависимости амплитуды коэффициентов вейвлет-разложения \?ф(а, Ь) от масштаба а в логарифмических координатах.