4.1 Анализ ковариационных матриц навигационных решений при различных созвездиях опрашиваемых НС
С целью проведения численного исследования навигационного алгоритма и сравнения его точностных характеристик с алгоритмом, вычисляющим оценку с использованием средневзвешенного МНК, при наличии корреляционных зависимостей между параметрами навигационного вектора необходимо получить численные величины корреляционных зависимостей между компонентами навигационного вектора, поступающего из НП.
в стандартной аппаратуре потребителя навигации СРНС, используемой в настоящее время, применяется алгоритм определения координат по измерениям разностей дальностей.
Необходимое минимальное число НС для решения пространственной навигационной задачи разностно-дальномерным методом равно четырем. Координаты потребителя находятся по данным разностно-дальномсрных измерений в результате решения системы уравнений (см. например / 32/) по следующим расчетным формулам:Arj! = t(xei - X )2 + (ycj - у F +(Zq - z )2]1/2 - [(Xci - x F + (ycl - у F +(2,, - z )2]1/2 , (4.1) j=2,3,4 (Arji - разностно-дальномерное измерение OTJ-ГО НС до 1-го НС).
Преобразуем системы уравнений (4.1.1) к виду
х (Xcj - Xci ) + у (ycj - уС1) +z (Zcj -Zci ) = 0.5 (pcj2 - Pel2 - Arj,2) - Атц n (4. 2)
j = 2,3,4,
где n = [(Xci-x)2 + (yd-y)2 +(zc-z )2]1/2 (4. 3)
- измеренное значение дальности от объекта (НКА) до 1-го НС,
Pci2 = Xci2 + yci+2 Zci2 (i = 1,2,3,4),
xCi, yCi, Zci - прямоугольные координаты i - го НИСЗ.
Координаты х, у, z, получаемые в результате решения системы уравнений (4.2), линейно зависят от rj:
x(ri)-bax + bix ri,
y(ri) = boY + bivrb (4.4)
z(ri) = b0z+bizri.
Коэффициенты box, bix, boy, biy, boy, biy вычисляются в соответствии с коэффициентами системы линейных уравнений (4. 2) относительно переменных х, у, z:
box = Д"1[ а2] (УсЗ - УсО (Zc4 - Zci) + Й41 (ус2 - yei) (Zrf - Z^) + а31 (Ус4 - УеО (Zc2 - Zcl) -
Э41 (УсЗ - Ус1> (Zc2 - Zcl) - Эз1 (Ус2 " УсО (Zc4 " Zel) - 8-21 (Ус4 - Уы) (Zc3 " Zci)] ,
bix = Д''[Аг41 (УсЗ - YD) (ZC2 - Zcl) + ДГ31(Ус2 - Ус0(2с4 - Zel) + ДГ21 (Ус4 - УЕО (Zc3 " ^0 ~
ДГ2| (УсЗ " Ус!) (Zc4 " Zci) - Дг31 (уы - yel) (zc2 o Zcl) - Дг41 (Ус2 " УсО (zc3 " ZcOL
boy = Д*'[ аз! (Хс2 - Х(0 (Zc4 - Zcl) + т (Хс4 - XeO (z"3 " ZcO + 341 (х^ - ХсО (Zc2 - Z^i)~
аз I (Хр4 - Xci) (Zc2 - ZcO ~ а21 (Xrf - Xci) (Zrf " Zd) - 841 (Xtf " Xcl) (Zrf - Zcl)] "
biy = Д*1 [ДГ31 (Xc4 " Xci) (Zc2 - ZcO + Дг21 (ХсЗ " Xci) (Zc4 " Zci) + Дг4[ (Xtf - Xci) (Ztf - Zcl) ~
ДГ31 (Xc2 - Xcl) (Zrf " ZcO - ДГ21 (Xc4 * Xcl) (Zc3 " Zcl) ~ ДГ41 (*c3 " Xcl) (Zc2 " Zcl)].
boz = Д'1[ JMi (Хег - Xcl) (УсЗ - УСО + а31 (хы - xci) (ус2 - ус0 + а21 (хсз - Xci) (у^ - yei) -
а2[ (Хс4 - Xci) (УсЗ - УсО - 341 (ХсЗ - Хс]) (ус2 - yci) - а31 (хс2 - Xcl) (Ус4 - УсО] >
biz - Д"Т[ДГ21 (Хс4 - Xcl) (УсЗ - УсО + ДГ41 (ХсЗ - Xcl) (УсЗ - УеО + Д^З! (Хс2 - ХсО(Ус4 - УсО ~
Дг41(Хс2 - ХсО(УсЗ " УеО " ДГ31(Хс4 - ХсО(Уе2 " УсО ~ ^21 (ХсЗ - Xei) (Ус4 " УсО].
где Д - детерминант матрицы из системы линейных уравнений (4.2) вычисляется по формуле:
Д =(Хс2 - ХсО(УсЗ - Ус0(2с4 ~ Zcl) " Хс0(Ус2 " УсО(2сЗ - Zd) + (ХсЗ - ХС{)(УЫ - УС\)(^2 - Zcl) ~
(Хс4 " ХсО(УсЗ " Ус0(2с2 " Zc]) ~ (ХсЗ - Хс0(Ус2 " Ус 0(^4 - Zcl) - (Xtf - Хе0(Ус4 - yC|)(Zc3 - ZcO,
aj! = '/г ( pCj2 - Pel2 - Дтл2) 0=2,3,4).
Подставляя значения x(rO , y(ri) , z(ri) в выражение (4.3), можно определить ri , как решение квадратного уравнения:
( I - bix2- biy2- biZ2) П2- 2 [(box - xci)bix + (boy - yci)biY + (b0z - Zci)biJ n -
- [(box - XC,)2 + (b0Y - УсО2 + (boz - Zcl)2] = 0.
После нахождения n , как корня квадратного уравнения, координаты х, у, z находятся подстановкой ri в выражения (4.4). Неоднозначность при решении устраняется путем сравнения с диапазоном высот полета НКА. С использованием выражений (4.1)-(4.4) было проведено статистическое моделирование с целью определения вероятностныххарактеристик параметров х, у, z, вычисленных по измерениям разностей дальностей до 4-х НС. Обозначим их: НС1, НС2, НСЗ, НС4. в качестве входных параметров для статистической обработки использовались 6-ть независимых случайных величин: Vj, V2, Уз, V4, Vj, У в, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и заданными дисперсиями. Указанные случайные величины использовались в качестве случайных добавок (слагаемых) при моделировании измерений разностей дальностей (4.1 Л): Arjl = [(Xq-X)2 + (ycj - У f +(z,j - Z f]m + Vj-I - [(Xcl - X f + (ye, - у f +(zcl - Z f]m + Vj+2.
0=2, 3,4).
Моделирование проводилось для различных вариантов взаимного расположения координат потребителя х, у, z и навигационных спутников xCj , yCi, Zci ( i =1, 2, 3, 4) в ГСК. Указанное взаимное расположение навигационных спутников и потребителя определяет так называемый геометрический фактор (ГФ) /32/, который влияет на вероятностные характеристики определяемых навигационных параметров х, у, z. Аналогичные аналитические выражения определяют скоростные составляющие навигационного вектора Vx, Vy, Vz. Значения математических ожиданий дисперсий и коэффициентов корреляции для навигационных параметров НКА потребителя при использовании измерений разностей дальностей вычисляются по известным формулам при статистической обработке. При моделировании выбирались различные варианты взаимного расположения координат НС (Xcii Усь Zd, i =1, 2, 3, 4) и НКА потребителя (х, у, z) в ГСК в километрах. При всех вариантах полагается (х, у, z) = (0. км, 0. км, 6700. км) , а (xei, уС[, Zci) = ( 0. км, 0. км, 26400. км). Координаты навигационных спутников хс;, ус;, z^ (i = 2, 3, 4) соответствуют Зб-ти вариантам равномерно распределенным по плоскости местного горизонта спутника потребителя (числовые значения координат вынесены в приложение Г).
Для статистического вычисления значений математических ожиданий (Мх, My, Mz), дисперсий (Dx, Dy, Dz) и коэффициентов корреляции (гху, гм, Ггу) для навигационных решений проводилось статистическое моделирование со случайными величинами Vi, V2, V3, V4, Vj, V6.
При этом моделировании случайные величины Vj, ..., V^ формировались в соответствии с нормальным законом распределения, с нулевым математическим ожиданием и значениями СКО равным 16 метров. вероятностные характеристики компонент х, у, z (СКО и коэффициенты корреляции) по результатам статистического моделирования для описанных 36-ти вариантов расположения НС при 250 испытаниях, а также ГФ приведены в таблице 4.1. ГФ вычисляется по следующим формулам:ГФ = .jol+oy + ol /CTv, где а\ = Dx, о] =Dy, а\ =Dz, о\ =Dv - соответствующие СКО величин X, Y, Z, V=Vj=....=V6.
Плоскостные ГФ вычисляются по формулам: ГФжу= л/сх+Оу /CTv, ГФ" = ,[ol+al /о*, ГФ1у= ,/aY +CTz ?
Текст программы на языке FORTRAN, которая реализует расчетные формулы данного раздела, и результаты моделирования по которой приведены в таблице 4.1, помещен в приложении в.
Таблица 4.1 Номер варианта СКО, м Коэффициенты корреляции и плоскостные геометрические факторы, б/р Геометрический фактор (ГФ) СТУ riy 1
ГФ1У 'и ,
ГФК ггу o>
ГФгу 1 16.3 зол 20.4 0.02
2.14 0.13
1.63 0.52
2.27 2.5 2 28.4 17.2 22.9 -0.04
2.07 0.66
2.28 -0.05
1.79 2.5 3 73.1 70.9 101.5 0.89
6.37 0.96
7.82 0.94
7,74 8.9 4 20.1 21.40 17.9 -0.36
1.83 0.26
1.68 0.03
1.75 2.1 5 22.3 19.4 18.7 -0.30
1.85 0.39
1.82 -0.10
1.69 2.2 6 16.3 30.1 20.4 -0.02
2.1 0.13
1.6 -0.52
2.2 2.5 7 142.1 260.0 337.1 0.95
18.5 -0.97
22.9 -0.99
26.6 28.1 8 165.1 401.2 516.1 0,95
27.1 -0.96
33.8 -0.99
40.9 41.7 9 18.8 20.0 17.4 -0.02
1.7 -0.1
1.6 -0.1
1.6 2.03 10 78.1 39.5 67.9 -0.86
5.3 -0.95
6.4 0.89
4.9 6.9 11 60.8 30.1 20.4 0.84
4.2 -0.37
4.0 -0.52
2.2 4.4 12 64.3 28.9 40.4 0.79
-4.4 -0.89
4.7 0.64
3.1 5.0 13 114.0 187.1 249.4 -0.93
13.7 0.96
17 Л -0.99
19.4 20.7 14 144.1 262.3 336.2 0.96
18.7 0.98
22.9 0.99
26.6 28.18 15 161.1 396.6 513.4 0.95
26.7 0.96
33.6 0.99
40.5 41.7 16 54.2 23.4 42.3 -0.61
3.6 0.90
4.3 -0.64
3.0 4.5 17 23.0 17.6 18.0 0.02
1.8 0.12
1.8 -0.28
1.5 2ЛЗ
Продолжение таблицы 4.1 Номер вари СКО, м Коэффициенты корреляции и плоскостные геометрические факторы, б/р Геометрический анта о, ау ) ГФ1у TtZ ) ГФ^ Ггу )
ГФ*у фактор (ГФ) 18 23.0 102.8 104.2 0.02 6.5 -0.04 6.6 0.98 9.1 9.2 19 28.2 25.8 18.0 0.68 2.4 0.44 2.0 0.52 2.2 2.7 20 28.2 25.8 18.0 -0.67 2.39 -0.23 2.09 -0.29 1.97 2.6 21 38.3 ЗОЛ 20.4 0.79 3.0 0.44 2.7 0.52 2.2 3.3 22 37.5 ЗОЛ 20.4 -0.78 3.0 -0.34 2.6 0.52 2.2 3.2 23 38.3 30.1 20.4 0.79 3.0 -0.49 2.7 -0.52 2.2 3.3 24 37.5 ЗОЛ 20.4 -0.78 3.0 0.34 2.6 -0.52 2.2 3.2 25 30.5 22.2 17.2 0.63 2.3 -0.04 2.1 0.03 1.7 2.5 26 28.2 25.8 18.0 0.67 2.3 .23 2.0 .29 1.9 2.6 27 32.6 16.1 18,7 0.02 2.2 0.12 2.3 -0.37 1.5 2.5 28 63.0 17.2 22.9 -0.43 4.0 -0.57 4.1 -0.05 1.7 4.3 29 32.6 224.8 257.9 0.02 14.1 0.03 16.2 0,99 21.3 21.4 30 63.2 16.9 20.7 0.40 4.0 0.41 4.1 -0.18 1.6 4.2 31 43.3 16.9 20.7 0.32 2.9 0.44 3.0 -0.18 1.6 3.1 32 34.2 16.9 20.7 0.22 2.3 0.47 2.5 -0.18 1.6 2.7 32 34.2 16.9 20.7 0.22 2.3 0.47 2.5 -0.18 1.6 2.7 33 142.3 260.1 337.8 -0.96 18.5 -0.98 22.9 0.99 26.6 28.0 34 165.0 401.8 516.5 -0.95 27.1 -0.97 33.8 0.99 40.9 42.1 35 114.0 187.1 249.4 -0.93 13.7 -0.96 17.1 0.99 19.4 20.7 36 71.5 70.0 103.5 -0.88 6.2 -0.95 7.8 0.95 7.8 8.9
Анализ значений г*У, г*Г, rzy соответствующих навигационных параметров из таблицы 4.1 для различных вариантов расположения навигационных спутников относительно НКА показывает, что они могут значительно отличатся от нуля.
Такие варианты могут иметь место в случае деградации СРНС, что обуславливает не оптимальность выбора созвездий НС для навигационных определений. На рисунке в приложении Г схематично изображено расположение НС 2-го, 3-го и 4-го в вариантах 1-36 на расстоянии 26400 км от оси вращения Земли, если смотреть со стороны Северного полюса.Анализ таблицы 4.1 позволяет сделать вывод о возможности структурировать информацию о статистических характеристиках навигационных измерений в зависимости от конфигурации созвездия НС, участвующего в сеансе.
Стандартные НП формируют наряду с навигационным вектором х, у, z, Vx, Vy, Vz дополнительно величину ГФ, которая определяется объемом пирамиды с вершинами в НС опрашиваемого созвездия. величины гху, г№ т2у являются статистическими характеристиками и их значения вычислить в НП затруднительно,