3.3 Аналитическое исследование чувствительности алгоритма к выбору параметра регуляризации
в подразделе 3.1 был предложен функционал, минимизация которого должна давать решение, обладающее свойством устойчивости к ошибкам измерений и ошибкам параметров модели движения.
С целью проведения этого исследования аналитическими методами представляется целесообразным изучить чувствительность выражения для дисперсии первой компонента вектора оценки, по которой производится регуляризация (см. раздел 3.2 выражение (3.8)), на интервале прогноза до t*. Для этого продифференцируем выражение (3.8) по параметру а и преобразуем его с целью получения выражения для а.в предыдущем разделе 3.2 были получены расчетные формулы для алгоритма получения навигационной регуляризированной оценки, свойства которой зависят от выбора значения параметра а и выбора количества и расположения моментов навигационных измерений. Проведем исследование чувствительности параметра навигационной оценки q., (t*) от выбора значения а.
Найдем значение параметра а в (3.8), при котором получается наименьшие дисперсии
О2 . при выбранном составе навигационных измерений q(1), qt2), ..., q'N) и моменте времени Aq,
t* получения навигационной оценки, что является предметом отдельного исследования. При допущении аналитичности (то есть непрерывности и дифференцируемое™) функциональной 2
зависимости ст ^ и предположении достижения значения минимума ее при выполнении да2 (а)
iql П
равенства -^- = 0, можно наити экстремальное значение а, используя известные
приемы математического анализа поиска экстремальных значений дифференцируемых функций.
Для нахождения экстремального значения параметра а, при котором значение
о
дисперсии СТ я принимает минимальное значение, продифференцируем выражение (3.8) по Aq.,
а, приравняем нулю и получим выражение для оптимального значения а. Для сокращения записи введем следующее обозначение:
tF(i)_мд-1|0_хм /фО^фа)7! Гф^(tj,t*)-ма~ 1 ф*^ 1;
ф^Ф? ' У.
) ^ JОкончательное выражение для оптимального значения а (введем обозначение a opt) имеет следующий вид:
-1 2 3 N ? = 1 j= 1
, e N
s i
e => 4 j = 1
T0)
а opt = -
Ф">0 -Ф0)Т
L i nj '
(3.9)
Подробный вывод выражения (3.9) для вычисления параметра a opt приводится в приложении Б.
о
Для анализа изменения величины квадрата дисперсии a . (выражение (3.8)) и при предположении его гладкости до второго порядка для a0pt вычисляем вторую производную от ст по а при a -aopt:
дч;
52°2>opt>
дГ "8
йч.
N Г ф®
. (3.10)
= CTnZ ? , " + Z
да2
1-1 J-1
(-4 j-1
[ФУОщФ®' Для вычисления дисперсий компонент вектора оценки Aq со второй до шестой преобразуем формулу (3.5) вычисления соответствующих компонент 2+6 вектора оценки к линейному виду, удобному для применения формулы вычисления дисперсий:
AqsAqsAq^qsAqe! =ZA 'CjAq^-A 1 DAq^ (3.11)
* . ±
j=i
Используя линейную формулу для вычисления квадрата дисперсий и выражения (3.11)
о
для ст ,, можно записать общую формулу для квадрата дисперсий компонент 2+6 вектора
оценки. Для краткости записи выражений для квадратов дисперсии введем следующие обозначения для некоторых частей выражения (3.8):
f(a) = E^F® ^(Ф^Ф^-М A-'D;
aЈ(i)
Ф(а,А,|) = ф}> -МА~1Ф® + --;
а( - j ам а(2а<3а/4а(5
~1а~1а"1а~1а"11!" вектоР строка размерности 5х 1, Р. -ая строка матрицы А'1;
-1
элементы обратной матрицы А*1 обозначены через а^(к=1,2,..., 5; ш=1,2,..., 5);
Ф^ОщФ?
<ММ*) <ММ*)
с учетом 2 2 2 2 2 выражения для квадратов дисперсий ст , ст ,, О t,0 t, ст t АЦ2 Aq3 Aq4 Aq5 Aq6 введенных обозначений записываются в компактном виде:
\2 a2. Aq ( + 1 f- - \ f - ™ Ф(а Aj) (3.12) (a -S )-( a .в) " ч t jA i т(а)
+ IX- (a -s )-( a .U)--- . * JA * f(") /
1) Использование выражений (3.8) и (3.12) для вычисления дисперсий предоставляет возможность для аналитического анализа точностей алгоритма, t получения регуляризированной статистической навигационной оценки. 2 вычисления производной от ст по параметру а с целью определения степени влияния Aq, ошибок навигационных измерений на уровень ошибок параметров оценки и*для анализа чувствительности алгоритма к выбору параметра регуляризации (при этом дисперсии по существу играют роль возможных уровней ошибок входной измерительной информации). На основании выражения для aopt (3.9) построен численный алгоритм, который используется для поиска областей чувствительности алгоритма к параметру регуляризации. Результаты моделирования показали, что значение выражения (ЗЛО) для второй ^^.(а ) Ч 2 производной всегда положительно. Значит, выражение ст # достигает при д a2 AqJ значениях a=aopt своего минимального значения. Для различных интервалов прогнозирования по расчетным формулам (3.9), (3.8) и формулам раздела 2.1 были проведены вычисления. Моделирование выявило неустойчивость в вычислении значения ст2 , которое объясняется решением задачи в линеаризированной постановке при существовании нелинейных зависимостей (наблюдается при возрастании интервала прогноза до t*). Подробнее результаты моделирования приведены в разделе 3.5 (см. рисунки 3.1,3.2). Как отмечалось в 19!, факт неустойчивого вычисления матрицы дисперсии ошибок указывает на необходимость регуляризации задачи вычисления оценки. Нужно отметить, что интервалы устойчивого вычисления навигационной оценки и интервала отрицательных значений параметра a opt совпадают. Таким образом, появляется возможность в регуляризации решения на интервалах возрастания влияния ошибки модели движения. Необходимо пояснить механизм получения регуляризованной оценки по формулам раздела 3.2. Свойство минимизируемого функционала таковы, что при помощи выбора значения сомножителя при стабилизирующем слагаемом, полученная оценка имеет одновременно два свойства: устойчивость относительно влияния ошибок навигационных измерений; смещенность в сторону истинного положения КА, при этом смещение определяется уровнем ошибок модели движения (параметра а) и величиной значения стабилизирующего функционала.