8.2.4 Распределение с двумя гауссовыми пиками

Если мы имеем дело с распределением, представляющим собой сумму двух гауссовых пиков, причем положение хотя бы одного из гауссианов известно, параметры другого источника могут быть определены с помощью вейвлет-разложения по базису

gi(x) = —хехр(—х2/2).

Без ограничения общности, анализируемая функция может быть представлена в виде суммы двух гауссианов, один из которых расположен в начале координат

tt \ N° ( , М (

/(х) = 7Щехр Ы) + 7Щехр ' (8'1б)

Рассмотрим поведение д\-коэффициентов в точке х = 0. Поскольку первый член в правой части выражения (8.16) симметричен, а сама функция д\{х) антисимметрична по отношению к замене х —» — х, значения коэффициентов Wgi(a,0)[f] определяются лишь вторым членом в правой части формулы (8.16). В явном виде:

w^w = ^ (тЬТ^ (-та) • (8Л7)

Таким образом, зная Wsl(a,0)[/] можно определить параметры N\,oi,xm.

Практически, разложение в точке хо по базису д\ наиболее эффективно работает тогда, когда мы ищем распределение с центром, достаточно удаленным от точки xq. В этом случае, в силу антисимметрии gi(x), локальные гауссовы

185

флуктуации с источником расположенным в х0 не дают вклада в И^а, ?0)[/]. Условие экстремума по отношению к масштабной переменной а, следующее из (8.17), имеет вид

0иьм)[/1

9а '

где, без ограничения общности, положено хо = 0. Экстремальное значение мас-штаба а определяется из биквадратного уравнения

За4 - 2х2 а2 - За2 = 0,

имеющего вещественное положительное решение aextr = xd v з ¦ (8-18)

Для достаточно узких пиков | <§С 1, достаточно удаленных от XQ = 0, имеем приближенное значение.