8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков
Следуя работе [6], где была впервые предложена идея разделения гауссовых пиков с помощью вейвлет-преобразования, рассмотрим распределение с одним гауссовым источником
(Без ограничения общности, можно положить х™ = х = 0.) Нам будут нужны вейвлет-образы гауссиана, вычисленные с различными базисными вейвлетами из семейства (3.26):
Wgn(a,b)[faauss] = J -J=9n (^-^Jfgaussitfdx.
Эти интегралы легко вычисляются с использованием преобразования Фурье (1.22):Щ(а,Ъ)[1даи*з} = ^\a\l/2 J eMlkb)Mak)fgauSs{k)dk, (8.8)
183 где
дп{к) = \/b(ik)n ехр{-к2/2). Вместо вычисления интегралов для каждого значения п в отдельности достаточно один раз вычислить интеграл для вейвлета Морле (8.9)
g(s, к) = л/27Г exp(tks - к2/2), который можно затем использовать в качестве производящей функции, беря соответствующую производную п-го порядка по аргументу s, при s = 0. Действуя таким образом мы получим аналитические выражения для вейвлет-образов гаус- сиана по отношению к всему семейству вейвлетов дп: (8.10) (8.11)
s=0
D
Wg(s)(a,b).
W = Ш"
s=0
Подставляя выражение (8.9) вместо дп(к) в (8.8) и учтя, что фурье-образ гаус- сиана (8.7) равен
/ ?2<т2\ fgauss{k) =./Vexp f — J ,
получим выражение
(8.12)
Wfls(a, b)[fgauu] = NJ dkexp (гк(Ъ - as) - j (a2 + a2)^
exn (- ^
ЄХР \ 2(a2+a2))
Va2 + a2
для вейвлет-образа гауссиана по отношению к производящему вейвлету (8.9).