7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара
Как следует из представления р-адических чисел в виде полиномов (7.4), операции с р-адическими числами могут выполняться по той же схеме, что и операции с обычными (целыми или рациональными) числами разложенными по произвольному основанию р, равному, например, 2, 8 или 16, а не 10, как это принято в обычной математической записи.
Хотя случай р = 2, возможно, наиболее интересен для практических приложений, так как он непосредственно связан с двоичной арифметикой, используемой в современных процессорах, не исключается возможность использования и других оснований для операций в вычислительных устройствах. В случае произвольного простого основания рф2, умножение и сложение в таком устройстве будут производиться по модулю р, т.е. будет использоваться циклическая группа Zp, а не группа Z2.Основным элементом, используемым при построении дискретного вейвлет- преобразования над Qp, как и при построении обычного дискретного вейвлет- преобразования, является пара операторов Н и G, называемых низкочастонтным и высокочастотным фильтрами, удовлетворяющими соотношениям
G*G + H*H = 1, HG*= 0. Действие операторов Я и G на вектор данных (я) определяется соотношениями
(Gx)k = ]Г ді-2кхк, (Нх)к = hi-2kXk. (7.35)
/ і
При этом вектор данных может представлять собой как массив вещественных или целых чисел, так и массив элементов конечного поля. Фактически, именно такая структура лежит в основе как быстрого вейвлет-преобразования, так и быстрого преобразования Фурье [51,151].
Оказывается, что пару операторов (7.35) можно не только применять для построения дискретного вейвлет-преобразования в пространстве квадратично- суммируемых функций на решетке, но и использовать для построения вейвлет- преобразования над конечными полями (полями Галуа) [41]. Однако, препятствием к широкому практическому использованию вейвлет-преобразования над конечными полями является необходимость увеличения порядка поля с ростом размера вектора данных.
Приятным исключением является построение быстрого алгоритма с вейвлетом Хаара для обработки данных, записанных в двоичном формате (р = 2). Поскольку функция Хаара принимает только два значения164
"+1" и "-1" на группе Z2, мы имеем дело с отображением Z2 Z2, представляющим собой обычную булеву алгебру, которая реализована в целочисленной арифметике. С точки зрения обычного (вещественного) алгоритма для вейвлета Хаара, построение целочисленного алгоритма сводится к замене факторов д/2 в прямом и обратном преобразовании на целочисленный фактор 2 в одном из них. В качестве альтернативы вейвлет-преобразованию над конечными полями [41], автором был построен аналог дискретного вейвлет-преобразования над Qp [17].
Рассмотрим теперь непосредственно построение дискретного р-адического вей- влет-преобразования. Наиболее очевидным способом построения р-адического вейвлет-преобразования является использование вейвлета Хаара. Вейвлет Хаара представляет собой простейший базисный вейвлет
{
1. О <х <1/2
-1, 1/2<х<1 (7.36)
О, вне единичного интервала.
Используя масштабный фактор а = 2 в непрерывном вейвлет-преобразовании (1.12) мы легко получим дискретное представление аффинной группы
h{{x) = 2~jh{2~jx - к)
и вейвлет-коэффициенты
d{[f] = J2~jh(2~jx - k)f(x)dx.
Прямое и обратное вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара, легко выполняются по пирамидальной схеме Лапласа
і» І1 І2 -» .,.
\ \ \ d1 d?
где s° - вектор исходных данных.
На каждом шаге пирамидального алгоритма вычисляются две проекции:
sj+l _ S2к + S2fc+1 ^j+1 _ S2к ~ S2k+1
Первая из которых, sJ+1, представляет собой усредненную версию данных пре-дыдущего уровня sJ, а вторая - сР+1 представляет собой детали, потерянные при усреднении.
165 Поскольку на каждом шаге разложения (7.37) мы имеем линейное преобразование данных, реконструкция исходного вектора данных, из пирамидального разложения, выполненного с вейвлетом Хаара, также представляет собой линейное преобразование (7.38)
S2k+1 — 4+ + > S2к ~ Sl+ ~ dk+ ¦ Алгоритм, полностью аналогичный рассмотренному может быть построен и в пространстве р-адических чисел. Для этой цели мы следующим образом определим р-адический вейвлет Хаара
(7.39) где"-1" означает (—ІЄМ) или ї=(р—1)+(р-1)р+(р-1)р2+..., соответственно, в зависимости о того, является ли вейвлет h комплекснозначной h : Qp —» С или Qp- значной функцией h : Qp —» Qp. В последнем случае, полностью воспроизводится пирамидальный алгоритм (7.37,7.38), но для вейвлета Хаара (7.39) и р-адической арифметики:
для прямого преобразования - вейвлет-разложения: J+i _ J . J jj'+i _ J _ J = J bk * b2k+l ^ b2fc' ak ~ b2k+1 ь2к ~ b2> для обратного преобразования – реконструкции.