7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация
Регуляризация двумерной квантовой гравитации, предложенная Книжником, Поляковым и Замолодчиков (КПЗ), основана на эквивалентности между непрерывной формулировкой двумерной квантовой гравитации [101] и динамической три-ангуляцией [28].
Основываясь на процедуре регуляризации, предложенной Поляковым [145], в которой положение поверхности в пространстве вложения (Хм) и внутренняя геометрия поверхности (даь) рассматриваются независимо, можно построить действие типа Намбу-ГотоS[X,M = U д^^у/^зЪ + Р [ у/мГд*Ц
ZJM ОС.Ь JM
+ фермионные члены, (7.19)
155
где ? = (?1,62) есть параметризация многообразия М, заданная с помощью функции Хц = Такой, или аналогичный действию Намбу-Гото, функционал обычно возникает в функциональном интеграле струнных моделей, где интегрирование по X и д проводится независимо.
В модели динамической триангуляции, как и в моделях более высоких размерностей [27], континуальный интеграл по метрике даь заменяется суммиро-ванием по всем возможным конфигурациям поверхности; число треугольников на поверхности при этом остается неизменным. Для того, чтобы репараметри- зационная инвариантность была сохранена при дискретизации [28], в качестве топологии многообразия М выбирают сферу S2 [28, 99]. Статистическая сумма двумерной квантовой гравитации при этом принимает вид
Z(A) = f VXVgexp(-S), (7.20)
JM
или в дискретной форме [99]
Zreg(A) = Y,Zm(G)5Na2tA, (7.21)
g
где А - площадь поверхности, N - число равнобедренных треугольников, а2 - площадь треугольника. Вклад полей материи в статистическую сумму Zm(G) происходит из фермионного члена лагранжиана модели КПЗ,
С = &аа>уадаФ, (7.22)
здесь Vaa " ОбыЧНЬШ рЄПЄрНЬІЄ формы.
Формально, при замене функционального интеграла (7.20) дискретной стати-стической суммой (7.21) необходимо просуммировать по всем возможным триан- гуляциям сферы S2. На практике же, приходится накладывать дополнительные ограничения, чтобы избежать суммирования по сингулярным триангуляциям, т.е.
по таким разбиениям сферы на треугольники, при которых имеются различные ребра с совпадающими концами. Эти и другие вопросы триангуляции двумерной поверхности, связанные с построением статистической суммы, а также фрактальные свойства этих поверхностей подробно рассмотрены в работах [28, 64]. Здесь, следуя работе [20], мы рассмотрим лишь некоторые свойства триангуляции поверхностей, связанные с возможным феноменологическим проявлением дискретных симметрий. Отметим, что выражения аналогичные (7.20), остаются справедливыми и в случае р-адической квантовой гравитации [176].156 Процедура триангуляции используемая для двумерных поверхностей может быть распространена на многомерную сферу 5" [27], поскольку п- мерная сфера, которая гомеоморфна границе (п + 1)-мерного симплекса, может быть разбита на n-мерные симплексы.
С точки зрения конформной инвариантности среди всех возможных разбиений сферы Sn наиболее предпочтительной является разбиение на равносторонние симплексы.
Выражение для статистической суммы (7.20) описывает физический объект, который изотропен, т.е. не имеет выделенных направлений, но может обладать дискретной группой симметрии, а следовательно, иметь некоторые выделенные углы, на которых возрастают корреляции между физическими наблюдаемыми. Например, если просуммировать по всем возможным триангуляциям двумерной сферы S2 используя равносторонние треугольники, то корреляции между наблюдаемыми, зависящими от полей материи будут возрастать при углах корреляции 0, у, у вследствие дискретной симметрии Z3, связанной с равносторонними треугольниками. Аналогичным образом должны проявляться и корреляции, связанные с группой симметрии тетраэдра, в случае если рассматривается сфера S3. Заметим, что дискретная симметрия S2, связанная с законом сохранения импульса, наблюдается всегда.
Двумерная квантовая гравитация является всего лишь простейшим случаем физики протяженных объектов. В общем случае, сужая многомерную физическую теорию из пространства п измерений в пространство (п — 1) измерений, мы ограничиваем триангуляцию сферы Sn n-мерными симплексами до триангуляции сферы S71-1, соответственно, (п — 1)-мерными симплексами, так как граница n-мерного симплекса представляет собой совокупность (п — 1)-мерных симплексов. Действуя таким образом и используя при этом равносторонние симплексы, мы всегда будем иметь Z3 симметрию при D = 2, и симметрию связанную с группой тетраэдра при D = 3.