3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности
Выше нами представлен новый подход к описанию гидродинамической турбулентности, основанный на модификации метода стохастической гидродинамики путем применения вейвлет-преобразования как к системе уравнений Навье- Стокса, так и к случайной силе, вводимой для компенсации вязкой диссипации энергии.
Несмотря на значительное число работ посвященных различным вариантам выбора случайной силы в пространстве волновых чисел (см. например [61, 56, 1] и ссылки там же), наш подход включает качественно новый элемент, не применявшийся ранее. Этим элементом является задание случайной силы посредством корреляционной функции коэффициентов ее вейвлет-разложения. Сконструировав случайную силу в пространстве вейвлет-коэффициентов, мы получили возможность избавиться от петлевых расходимостей в стохастическом пертурбативном разложении, сохранив в то же время такие необходимые физические свойства накачки, как ввод энергии на фиксированном ИК масштабе. Таким образом предложен новый математический аппарат стохастической гидродинамики не приводящий к УФ расходимостям. Наш формализм представляет представляет собой метод вычисления статистических характеристик поля турбулентных флуктуаций, таких как корреляционная функция и функция отклика, посредством непрерывного вейвлет-преобразования. Говоря о возможных физических следствиях, таких как каскад энергии между масштабами, или зависящие от масштаба поправки к функции отклика, мы сознательно не касались связи нашего формализма с применением метода РГ [61, 62] и мультифракталь- ным формализмом [134, 29, 122]. Все эти аспекты, конечно, связаны между собой. Квантовополевое описание гидродинамической турбулентности и метод РГ естественным образом обобщают обычное описание в терминах дифференциальных уравнений путем введения вероятностной меры. Отчасти вопрос о связи вейвлет-разложения с методом РГ рассмотрен в [10], в связи с возможностью формулировки теоремы Стокса в пространстве вейвлет-коэффициентов. Кроме того, возможной точкой соприкосновения нашего метода с методом РГ является исследование асимптотических режимов изотропной турбулентности [1, 170].Исследование гидродинамической турбулентности методами стохастических дифференциальных уравнений и квантовополевыми методами имеет по крайней мере полувековую историю. Однако, несмотря на существование феноменологически ясной теории Колмогорова (К41) [214], дискуссии о предпочтительности формализма дифференциальных уравнений, либо квантовополевого формализма, либо мультифрактального подхода продолжаются до сих пор.
101
Что касается физической интерпретации вейвлет-коэффициентов поля скорости турбулентных пульсаций, мы хотели бы подчеркнуть существование своего рода дуализма "волна-частица" в физике турбулентности, в том смысле, что ответ на некоторый вопрос о свойствах поля турбулентных пульсаций зависит от выбора системы базисных функций.
Если для исследования турбулентности было выбрано разложение по плоским волнам, то нет никаких оснований сетовать на сингулярное поведение или какие- либо парадоксы при к-*0 - что заложено, то и получено. Соответственно, если мы хотим получить аналитическое описание пространственно-протяженной тур-булентности, совместимое с феноменологией Колмогорова, необходимо выбирать такой базис, который локально различает флуктуации различных масштабов. На таком базисе и строится вейвлет-преобразование.
Преобразование Фурье нелокально и, очевидно, не удовлетворяет упомяну-тым выше требованиям, но оконное преобразование Фурье, или разложение по волновым пакетам, - в случае, если берется набор ширин, - этим требованиям удовлетворяют. По этой причине, возможно, имеется лишь техническая разница между нашим подходом и другими разложениями по локализованным волновым пакетам [228, 123]. Тем не менее, важно подчеркнуть, что включение в формализм разложения базисной функции ф, требует признать, что определение флуктуаций данного масштаба не является вполне объективным, и зависит от анализирующей функции, т.е. от способа наблюдения. Чтобы избежать этого, в значительной степени приходится ограничить рассмотрение интегральными величинами, зависящими не от формы базисного вейвлета, а лишь от его нормировки. И, как было показано выше, гипотезы подобия Колмогорова (К41) естественным образом обобщаются в предложенном нами многомасштабном формализме.