3.4.5 Гипотезы Колмогорова
Феноменологическая теория Колмогорова, описывающая локально-изотропную гидродинамическую турбулентность, сформулирована в терминах относительных скоростей
6u(r, I) = u(r +1) - и(г). (3.108)
Для описания функции распределения относительных скоростей (3.108) преобразование Фурье вряд ли может оказаться полезным, если только поле и(г) не является однородным.
Согласно Колмогорову [214], турбулентность, занимающую пространственно-временную область G, называют стационарной турбулент-ностью, если для любого фиксированного и (г, t), распределение относительных скоростей 6u(r, t) стационарно и изотропно. Физические допущения об условиях формирования локально-изотропной турбулентности формулируются в первой и второй гипотезах Колмогорова, которые используют число Рейнольдса. Само определение числа Рейнольдса не является строгим в математическом смысле.Мы покажем, что гипотезы Колмогорова можно наиболее адекватно сформулировать математически, основываясь на данном с помощью вейвлет-преобразования определении масштабных компонент поля скорости. Для этого, прежде всего отметим, что само определение числа Рейнольдса может быть сформулировано в терминах масштабных компонент. В самом деле, обычное определение числа
98 Рейнольдса,
Rei = —, (3.109)
и
в котором Щ упоминается как "скорость пульсаций масштаба Г. Но что такое "пульсации масштаба Г? Определение таких пульсаций может быть дано посредством вейвлет-компонент поля скорости (3.66), в котором г[) рассматривается как аппаратная функция прибора измеряющего пульсации скорости. Продолжая рассмотрение, мы находим, что вейвлет-компоненты (3.66) идентичны инкрементам скорости (3.108), в случае, если в качестве базисного вейвлета ф выбрана функция Хаара
'і, 0 < х <1/2 h(x) = -1, 1/2 < а; < 1 . (3.110)
0, в остальных случаях Перейдем теперь к самим гипотезам Колмогорова [214]:
HI: Первая гипотеза подобия Колмогорова.
Для локально изотропной турбулентности, при достаточно большом значении числа Рейнольдса Re, функция распределения относительных скоростей (3.108) однозначно определяется вязкостью v и средней скоростью диссипации энергии 6.Н2: Вторая гипотеза подобия Колмогорова. При тех же предположениях, что и для первой гипотезы (HI), турбулентное поле скорости самоподобно на малых (но все же I > і/їє~ї) масштабах, в том смысле, что
5u(r, XI) l= Xh5u(r, I), X є R+. (3.111)
Используя гипотезу Тейлора, и переходя таким образом к рассмотрению одномерных пульсаций скорости и(х), в соответствии с определением коэффициентов вейвлет-разложения (3.66), при ф=к, имеем
Ui(r) = J ]h (~т~) u(x)dx = Jo МЩЫи + г)
/1/2 /1 = / u(lt + r)dt- / u(lt + r)dt. Jo Jl/2
Для малых значений I можно приближенно записать
щ(г) w iu(r + і/) - iu(r + ^l),
99
или, учтя однородность потока, произвести сдвиг на —после чего получим
Чг)~\и(г)-^и{г+1-). (3.112)
Таким образом, степенное поведение инкрементов во второй гипотезе Колмогорова (3.111), а именно
ui(r) = ~25и(г> ~ lk> представляет собой частный случай локальной регулярности коэффициентов вейвлет- разложения - тот случай, когда в качестве базисного вейвлета была выбрана функция Хаара (3.110). Как было показано при достаточно общих предположениях [87], вейвлет-коэффициенты \V^(a,x)[f] квадратично интегрируемой функции f(x), удовлетворяющей в точке х = х0 условию Липшица-Гельдера с показателем h, имеют степенное поведение \W^(a, ж)[/]| ~ ан внутри конуса — хо| < const, для любого допустимого вейвлета ф, удовлетворяющего дополнительно условию регулярности
/
00
dx(l + |a:|)|V>(:r)| < 00. (3.113)
•00
Условия (1.15) и (3.113) являются достаточно свободными, т.е. не приводят к жестким ограничениям на тип базисного вейвлета. В физической постановке задачи практически всегда можно считать их выполненными для любой анализирующей функции ф, используемой для измерения турбулентных пульсаций. Таким образом, вторая гипотеза Колмогорова о самоподобном поведении турбулентных пульсаций может быть обобщена следующим образом:
H2g: Обобщенная вторая гипотеза подобия Колмогорова. При тех же
предположениях, что и для первой гипотезы (HI), турбулентное поле скорости
3 1
самоподобно на малых (но все же I » і/Зб") масштабах, в том смысле, что для пульсаций поля скорости, определенных посредством вейвлет-преобразования
ui(b) = J-fi ("J") u(x)dx>
где ф(х) - произвольная анализирующая функция, удовлетворяющая условию допустимости (1.15) и условию регулярности (3.113), мы имеем следующее степенное поведение вейвлет-коэффициентов
\щ(Ь)? = 12\ A = i, (3.114)
для всех Ь в области занятой турбулентностью.