3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам
Диссипация энергии на единицу массы, обусловленная кинематической вязкостью, определяется из уравнений Навье-Стокса
= —V J u(x)Au{x)ddx=v J ddx{Vu)2.
Подставляя вейвлет-разложение поля скорости (3.67) в это выражение, получим
/
_, , , \ /, % /, sda\ddh\ da2ddb2 ,„ „_х
П(йі,а2,Ьі - Ь2)и01(&1)иаа(йй) , (3.99)
fli а2
где
2
> -
- связность вейвлет-коэффициентов для оператора Лапласа, отвечающего вязкой диссипации.
В символическом виде, вклад флуктуаций поля скорости масштаба щ в среднюю диссипацию энергии на единицу массы может быть записан как
Є = f иаі(хі)иа.{х^^%, (3.100)
ij J
где Vij - кинематическая вязкость между масштабами а,{ и Oj. Ввиду хорошей локализации анализирующей функции ф как в реальном пространстве, так и в пространстве волновых векторов, "вейвлет-анализатор" тем сильнее реагирует на взаимодействие различных масштабных компонент, чем ближе их масштабы. В
94 таком приближении, взаимодействие компонент с сильно различающимися масштабами |log(ai/a2)| 1 можно не учитывать. Отметим, что для ортогональных вейвлетов Добеши, используемых в численном моделировании гидродинамической турбулентности, коэффициенты связности для оператора Лапласа были вычислены в [103].
Для качественного исследования зависимости коэффициентов связности от отношения масштабов взаимодействующих масштабных компонент (аі/аг)» рассмотрим семейство вейвлетов, являющихся производными гауссиана (3.95), ранее использованных при аналитических исследованиях уравнения Навье-Стокса в работах [104, 105]. Для этих вейвлетов коэффициент связности (3.100) можно легко вычислить аналитически: . (3.101)
Г2(п) v ; dan+: ad/2 ij-ru2
Основной вклад в вязкую диссипацию энергии дают компоненты с совпадающими или близкими координатными аргументами х = by —b2 ~ 0. В этом пределе (для простоты выписаны выражения для одномерного случая d=l) имеем следующее асимптотическое поведение коэффициентов связности:
Вводя отношение t = изучим поведение вязкой связности П в зависимости от отношения масштабов I:
/ \ 2n+1
График зависимости fi„(ai,O2,0) от отношения масштабов t = длЯ ТрЄХ ПЄр_ вых вейвлетов семейства (3.95) (п = 1,2,3) представлен на рис.
3.6. Как видно из графика, независимо от номера вейвлета (п), вязкая диссипация максимальна при совпадении масштабов (t « 1). По этой причине, в случае использования для разложения поля скорости дискретного вейвлет-преобразования вместо непрерывного, достаточно оставить два главных члена в диссипации энергии -95
Рис. 3.6: График функции aa^/+ta) (їщ) 2 для гауссовых вейвлетов с ті = 1,2,3, определяющей зависимость вязкой диссипации от отношения масштабов.
член, с взаимодействием равных масштабов, и следующий за ним член с взаимо-действием соседних (отличающихся на единицу) масштабов:
* ~ ~4< J <1хф{(х)Аф1(х) - 2u[-\l j йхфІ~1(х)АфІ1(х) + .... (3.102)
Первый член - это обычная вязкая диссипация, второй представляет собой аналог Крейчнановского взаимодействия близких масштабов.
Перенос энергии между соседними масштабами также может быть рассмотрен путем вейвлет-преобразования нелинейного члена (uV)u в уравнениях Навье- Стокса. По аналогии с каскадной передачей энергии по вейвлетам [228], ограни-чимся дискретным вейвлет-преобразованием с бинарным шагом по масштабу, а0= І;
и(х) = ?иІФІ(х) + Error term, ф{(х) = . (3.103)
Без ограничения общности, можно положить шаг дискретизации по пространственной координате равным единице, Ьо = 1. Применяя вейвлет-преобразование
96 к описанию гидродинамической турбулентности, мы не имеем никаких априорных аргументов в пользу выбора ортогональных вейвлетов фі, как это делается, например, при численном решении уравнения Навье-Стокса с использованием вейвлетов [146, 150]. В нашем подходе, вполне достаточно потребовать, чтобы система базисных функций г{Рк образовывала фрейм, т.е. V/ Є L2(R), ЗЛ > 0, В < оо, так что
^11/112<ЕКМ)12<5|1/112- jfc
В случае если А = В, фрейм называется жестким фреймом.
Предполагая что базисные функции образуют фрейм, и рассматривая гидродинамику несжимаемой жидкости, перепишем систему уравнений Навье- Стокса в виде
+- + (3.104)
Мы используем греческие буквы для координатных индексов и опускаем выделение векторных полей жирным шрифтом, там, где это не приводит к неоднозначности.
Суммирование по повторяющимся индексам также подразумевается. Таким образом, компонентные поля являются функциями лишь от времени ul° = иІа(О» и мы имеем дело с типичным случаем каскадной модели.Выведем теперь соотношения для передачи энергии между j-й и, следующей за ней, более мелкомасштабной компонентой. Определим энергию пуль
саций j-го масштаба следующим образом
Щ = \ Km = f ddxii(x)il(x). (3.105)
afc J
Мы подразумеваем единичную нормировку базисных функций f ddx\ip(x)\2 = 1. Вклад нелинейного члена уравнения Навье-Стокса в изменение энергии пульсаций j-го масштаба со временем составит
Щ = -Ш?и1?4а j ^хф1(хШх)Щр.. (3.106)
Для ортогональных вейвлетов, наиболее часто применяемых при численном решении уравнения Навье-Стокса [146], в изменение энергии дадут вклад только члены с совпадающими масштабами г = I = j в правой части уравнения (3.106). Поток энергии от пульсаций j-го масштаба к следующему (j+l)-My масштабу
97
пропорционален |iiJ|3/(бооо)» как и следует из феноменологической теории Колмогорова [214]. В более общем случае не ортогональных базисных функций, дает вклад следующий член в правой части уравнения (3.106), который пропорционален iiJ+1uJ+1uJ. Этот член можно интерпретировать как материальную производную и>Щи>+1)2 от средней энергии мелкомасштабных флуктуаций ^^ , переносимых по течению крупномасштабными флуктуациями иК
Переносные члены аналогичные (3.106) рассматривались Меневю [116] при разложении уравнения Навье-Стокса по ортогональным вейвлетам. Они могут быть получены непосредственно из компонентных уравнений путем умножения (3.80) на йаі(к) с последующим интегрированием. В (а, к) представлении это приводит к следующему выражению для перекачки энергии между масштабами
t(a,k) = {?) I(3-107) приведенному в работе [116].