3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой

Метод стохастической гидродинамики состоит во введении в уравнения Навье- Стокса случайной силы, компенсирующей вязкую диссипацию энергии, и вычислении моментов поля скорости (u(Јi)..

В координатном представлении, уравнение Навье-Стокса со случайной силой имеет вид

о / \

+ (и • V)u = Z/Au - V (JJ +т?(х,г). (3.77)

Для того, чтобы построенная теория была физически корректна и допускала возможность аналитических вычислений, коррелятор случайной силы (rji(x)r]j(x!)) = Djj(x - х') должен удовлетворять некоторым ограничениям. Во-первых, накачка энергии, осуществляемая случайной силой должна быть равна диссипации энергии; во-вторых, накачка должна быть существенно инфракрасной (ИК), т.е. локализованной в области малых волновых чисел; в-третьих, теория должна содержать параметр, позволяющий контролировать ИК расходимости при стремлении размеров системы к бесконечности.

Для исключения давления из уравнений Навье-Стокса (3.77) с помощью условия несжимаемости, обычно используют преобразование Фурье

(-IW + vk2) fi, (к, ы) - J щ^М^к(к)щ(д)йк(к -д) = гн(к). (3.78)

86

Коррелятор случайный силы, соответственно, также задается в спектральной форме

ШЬЩЬ)) = (2тг + fc2)Pij(k1)D(k1), (3.79)

где спектральная плотность D(|k|) имеет подходящее степенное поведение. В простейшем, хотя и не самом адекватном с физической точки зрения, случае D(k) = D0 = const, мы имеем дело с белым шумом, дельта-коррелированным как по координате, так и по времени.

Более реальной с физической точки зрения была бы случайная сила, действующая в ограниченной полосе волновых чисел Am;„ < |к| < Атах. ЭТО, однако, приводит к техническим сложностям в аналитическом вычислении петлевых вкладов [61]. Многомасштабный формализм предлагает альтернативное решение этой проблемы путем задания случайной силы, действующей в ограниченной по а полосе в (о, к) пространстве.

В (а, к) представлении, после исключения члена с давлением с помощью ортогонального проектора, уравнения Навье-Стокса (3.77) приводят к системе интегро-дифференциальных уравнений для масштабных компонент йаі(к): (-Ш + ик2)йаі{к) = fjai(k) (3.80)

-) Jai aj{2jr)M

2 л dai da,2 dd+1q

+

Теперь мы можем перейти к проблеме выбора коррелятора случайной силы в частотно-масштабном представлении (fjiai(ki)r}ja2(ki)) = D*ja2(ki,к2). Как было показано в работе [193], использование (а, к) предоставления предоставляет до-полнительные аналитические возможности для конструирования случайных процессов с требуемыми корреляционными свойствами в координатном пространстве. Например, случайная сила, следующим образом определенная путем задания коррелятора своих вейвлет-коэффициентов

<4.1 (kiHaflfc)) = (2*У^(кі + к2)аі*(аі - a2)А), (3.81)

в координатном пространстве обладает теми же корреляционными свойствами, что и белый шум. Выражая преобразование Фурье fj(k) через масштабные ком-

87

поненты ija(k) с помощью выражения (3.68), получим коррелятор

(ч(кі)ч(к2)) = (Р) f ^^fekO^eakaJ^CkO^fe))

J а і а2

Суф J 02

= (29г)^(к! + ка)Г>0,

что совпадает с коррелятором белого шума.

Непосредственное применение вейвлет-преобразования к коррелятору белого шума rj(x) —> ^(к) —> ??а(к) приводит к другому результату

(VaMUki)) = (2Tr)d5d(k1 + к2)ад(аік1)^(а2к2), (3.82)

отличающемуся от (3.81) и содержащему явную зависимость от базисного вейвлета ф.

С физической точки зрения, масштабно-зависимые процессы, подчиняющиеся уравнениям (3.81) и (3.82), соответственно, описывают совершенно разные про-цессы: флуктуации первого типа (3.81) коррелируют друг с другом лишь при совпадающих масштабах (аі = о2), в то время как для процессов второго типа (3.82) все флуктуации коррелированы.

Точно также как и в обычном формализме стохастической гидродинамики [61, 187, 1] можно обобщить дельта-коррелированную случайную силу (3.81), включив зависимость дисперсии от масштаба и волнового вектора D0 —» D(a, k).

{ЫЬ)ЫЬ)) = (27Г)<і+15<і+1(А:1 + к2)^-ах8{ах - адРцОаМаи М). (3.83)

Заметим, что дельта-коррелированная в пространстве волновых векторов случайная сила, как таковая, не обеспечивает адекватного описания развитой гидродинамической турбулентности, поскольку приводит к накачке энергии одновременно на всех масштабах, больших и малых. В физических же условиях, энергетическая накачка гидродинамической турбулентности происходит на каком-то определенном масштабе, или в диапазоне масштабов, сравнимых с размером си-стемы. В качестве простейшей модели накачки можно рассмотреть случайную

88 силу, действующую лишь на фиксированном масштабе ао, задаваемую с помощью коррелятора

D{a, k) = D0a06{a - а0). (3.84)

Перейдем к пертурбативным вычислениям. Построение стохастической диа-граммной техники для компонентных полей йа(к) вытекает из выражения (3.80) и является непосредственным обобщением диаграммной техники Уайльда, применяемой к фурье-гармоникам й(к):

Uk) = <*<%,<*) + (*№) ^щі (3.85)

М?Г2(к, Q, к - q)uaij(q)ua2k(k - q),

где Go(k) = (-га; + іЛс2)-1 функция Грина для невзаимодействующих полей. Чтобы наш формализм был равноправным в отношении векторных и масштабных индексов, перепишем выражение (3.85) явно, включив в функцию Грина масштабные индексы (3.75). Переходя к такой записи, мы получим:

„и -

х М?Г2(k, q, к - q)uaij(q)ua2k(k - q) (3.86)

Фейнмановское разложение для компонентных полей йаі(к) может быть получено как на основании выражения (3.85), так и на основании (3.86). Итерируя выражение (3.85) один раз, мы приходим к однопетлевому приближению для функции отклика:

адч = адью+ед (J)7 (3.87)

+ ад-ад (?)7 ^^мж^-Ш-ъ-Ьг)

«ад! (*2)fiaim(fc-*!-*&)]•

При этом, как обычно, подразумевается гауссово распределение случайной силы, так что все нечетные корреляторы {щ...

89

Следуя работе [61], мы вводим параметр разложения А, формально считая его малым, в вершину взаимодействия (М^102 —¦ \M^a2). Во всех окончательных результатах, строго говоря, должно быть восстановлено исходное значение А=1. Правомерность такой, сомнительной на первый взгляд, операции подтверждается ренормгрупповыми методами [61, 187, 1]; см. также [170] относительно некоторых последних применений этого метода к гидродинамической турбулентности.

В нулевом порядке теории возмущений функция отклика G не зависит от масштаба и совпадает с соответствующей функцией отклика Go для фурье-компонент:

йаі(к) = Go{k)rjai(k). (3.88)

Для вычисления однопетлевого 0(А2) вклада, и следующих за ним порядков теории возмущений, может быть использована стандартная теория возмущений, применяемая в стохастической гидродинамике [186,61,226,1] и соответствующая ей диаграммная техника. Отличия, возникающие из-за введения в рассмотрение масштаба, состоят лишь в следующем: (і) каждая вершина взаимодействия, каждая функция отклика и каждая корреляционная функция приобретают дополнительные индексы, отвечающие масштабу на соответствующих линиях; (И) по всем немым масштабным индексам производится интегрирование по масштабами f Математически, это означает, что каждая диаграммная линия, ранее отвечавшая плоской волне щ(к), теперь приобретает дополнительный вейвлетный

фактор и становится "профильтрованной" волной йаі(к) = ijj(ak)v,i(k). Топологи-ческая структура фейнмановских диаграмм при этом, естественно, не меняется.

Рассмотрим однопетлевые вклады в одночастично-неприводимые диаграммы для функции отклика, рис. 3.4, и корреляционной функции, рис. 3.5. В первом по коррелятору случайной силы (щ) порядке теории возмущений (т.е. в однопетлевом приближении), подставляя нулевое приближение (3.88) для масштабных компонент йа в правую часть (3.87), после выполнения необходимых интегрирований по масштабным переменным сц8(а — щ)^- и усреднения по случайной силе (3.83), получим:

- /гч п /П\ , г, п\л\2 ( 2 \А ( daida2da3dai dd+1h dd+1k2

uai(k) = G0(k)l]ai(k) + Go№X^-) J {2пу«{ъу+1 x

x Mjjfcia2(k,ki,k-ki)Go{kx)(fjaij(ki)f}a3i(k2))Go(k2)Go{k—ki) x x A47rT4(k ~ kb k2, k - kx - k2)G0(k-h -k2)rja4m(k -h- k2).

Соответствующая диаграмма показана на рис. 3.4. Фактор 4, как обычно, отвечает за два различных способа итерирования нелинейного взаимодействия умно-

90

k-kl-k.

а4

а

+ к

к

к а2

Рис. 3.4: Однопетлевое приближение для функции отклика

женных на два различных способа усреднения по случайной силе. После подстановки коррелятора случайной силы (3.83) и явного вида вершины взаимодействия (3.71), проинтегрировав по масштабам, получим

йа№ = Go(k)r}ai(k) + ^(ak)Go(fc)4A2 (^r^J J (3-89)

x \Go{ki)\2Aji(ki)Go(k-ki)Mkim(k - k1)^(a4k)%4m(A:),

(3.90) Выражение (3.90) означает, что для нашего выбора масштабно-зависимой случайной силы (3.83) все внутренние части диаграммы, которые не несут масштабных индексов явно, могут быть вычислены путем подстановки эффективного коррелятора силы (3.90) в обычную диаграммную технику в пространстве волновых чисел. Поступая таким образом можно легко вычислить поправки к обычной функции отклика G(k) для плоских волн (вычисления приведены в Приложении), а следовательно, вычислить турбулентные поправки к вязкости индуцируемые масштабно-зависимой случайной силой.

Аналогично функции отклика, можно вычислить вклады в корреляционную функцию для масштабных компонент поля скорости (uaii(ki)ua2j(k2)). В однопет- левом приближении, используя уравнение (3.87) и нулевое приближение (3.88), получим

x М^за5(кі,кз,к1-кз)Со(^)(^зі(^з)^4тЙ4))С,о(^)С?о(А:і-А:з)

91

{uaii(ki)ua2j(k2)) = Go{ki)Go{k2)(fjaii{ki)fja2j{k2))

После интегрирования по масштабным переменным 04,05, fa, полностью аналогично тому, как это было проделано при вычислении однопетлевого вклада в функцию отклика, для масштабно-зависимой случайной силы с коррелятором (3.83), получим (соответствующие диаграммы изображены на рис. 3.5):

(uaii(ki)ua2j{k2)) = 1С0 (А:х) 12 <77ai < (A:i) j (»

\Сф) J аз а5 (27ГУ+1

х М^аза5(кі, кз,ki-кз)|С0(А:з)|2Лт(кз)Л(аз, k3)|G0(A:1 -А:3)|2 х х Pfcn(k1-k3)D(a5,k1-k3)Mjra6(-k1, -кз, -кі+кз). (3.91)

Расписывая явно вейвлетный множитель ?/>(ак) в каждой вершине взаимодействия, и интегрируя по всем парным масштабным переменных, получим однопетлевой вклад в корреляционную функцию

/

dd+1 ki

х

х |Со(^з)|2Агт(кз)|Со(А;і-А;з)|2Аь(кі-кз)Мітп(-к1).

Для конкретного вида рассмотренной выше узкополосной случайной силы, дей-ствующей на фиксированном масштабе ао, интегралы входящие в парную кор-реляционную функцию легко вычисляются. Приведя детали вычислений в Приложении, выпишем результат вычислений парного коррелятора

C2{aukh аг, к2) = 5d+1(h + k2)Tp(aiki)xl){-a2k2)Cef}{ki):

Ceff(k) = 2А2|ед|2 J ^|TA(q)A(k - q)c2(k, q)|Go(?)|2|Go(A: - q)|2; (3.93)

здесь c2(k, q) - след тензорной структуры однопетлевой диаграммы для парного коррелятора, явный вид тензорной структуры приведен в Приложении.

92 Дальнейшие вычисления могут быть проведены в стационарном пределе, при стремлении частоты к нулю (ко —> 0), и проводятся в той же последовательности, как и в обычном формализме стохастической гидродинамики в пространстве волновых чисел: Се//(k) = A2|Go(0,k)|2S,d_i J -

q dqdO sirr ff A (q) А (к - q) 3q2(k2 - 2kqcos9 + q2)(k2 - 2kqcos9 + 2q2) X o,C°$2y [k2{d - 1) - 2 kqd cos 9 + 2q\d + 2 cos2 9- 2)1.

4(&2 — 2kq cos 0 + <72) V ; V

(3.94)

В качестве примера приведем вычисление однопетлевого вклада в эффективный парный коррелятор (3.93) для случая одномасштабной случайной силы (3.84) и вейвлетов, получаемых дифференцированием гауссиана

= (2тг)5(-гк)пехр(-к2/2), С3п - (2тт)*Г(п); (3.95)

здесь Г(я) - Гамма-функция Эйлера.

Для одномасштабной случайной силы (3.84), интегрирование вейвлетов семейства (3.95) с дельта-функцией от масштабов приводит к эффективному коррелятору силы в пространстве волновых чисел

Ап(9)=щ(а°9)2ПеЧоо9)2- (3'9б)

После несложных вычислений, получаем:

2k2\Go(k)\2Sd.iafD2 = А х

4^3Г(п)2

Интегрирование по угловой переменной cos 9, задающей направление вектора q относительно к может быть выполнено явно. Вычисления приведены в Прило-жении.

93

Для конкретного типа вейвлета "мексиканская шляпа" в трехмерном пространстве, п = 2,d = 3, в длинноволновом приближении (х = >0^, имеем:

е// v ' 40 v*y/2 '

.