3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования

(3.62)

Наше рассмотрение также основывается на уравнениях Навье-Стокса и предполагает наличие развитой гидродинамической турбулентности вдали от любых границ. Хотя адекватность описания развитой гидродинамической турбулентно-сти в терминах уравнений Навье-Стокса со случайной силой в правой части все

80

Аналитическое исследование свойств гидродинамической турбулентности, как правило, основывается на системе уравнений Навье-Стокса еще остается открытой проблемой, значительные успехи достигнуты в изучении некоторых простых моделей, доказательстве колмогоровского спектра из первых принципов [219] и вычислении аномальных скейлинговых поправок [130, 69,170].

Турбулентность в несжимаемой жидкости, рассматриваемая в такой постановке, а также в предположении об однородности и изотропии гидродинамических полей скорости и давления, чаще исследуется в представлении волновых векторов (фурье-гармоник), чем в реальном координатном пространстве. Пре-имущество, получаемое от использование фурье-гармоник вместо самих полей заключается в исключительно простой форме обратного лапласиана и условия несжимаемости, позволяющего исключить из уравнений Навье-Стокса давление. Ценой, которую приходится платить за такое упрощение, является пелокалъ- ностъ преобразования Фурье, которая скрывает всю информацию относящуюся к пространственному распределению поля скорости. Дискретное преобразование Фурье, используемое при численном моделировании гидродинамических течений приводит к появлению искусственной периодичности. Преимущественное распро-странение методов основанных на представлении волновых чисел объясняется, прежде всего, двумя следующими причинами: существованием алгоритмов бы-строго преобразования Фурье (БПФ) и псевдо-спектральных методов [138, 37] с одной стороны, и прямой физической интерпретацией измеряемых спектров энергии турбулентных флуктуаций [220, 66] с другой стороны.

В представлении волновых чисел

ф,і) = J ^щмфр, Ui(x,t) = J (3.64)

как обратный оператор Лапласа Д-1 в (3.63), так и условие несжимаемости Vu = 0 становятся алгебраическими уравнениями, а система уравнений Навье-Стокса переходит в систему интегро-дифференциальных уравнений

[dt + uk2)^(k,t) = j ф^Мцк{к)щМйк{к-^і\ (3.65)

где Mijk(k) = [kjPikik) + hPijik)}, Pij(k) = 8{j -

Система уравнений (3.65) допускает итерационное решение методом теории возмущений, построение замыканий для статистических моментов и прочее, но

81

является нелокальной по пространственной координате, вследствие чего не может быть использована ни для исследования явлений связанных с локальной диссипацией энергии, ни для описания когерентных структур. Система уравнений (3.65) является полной, и при адекватном численном моделировании дает на-дежные результаты. Однако, численное моделирование в пространстве волновых чисел требует одновременного учета огромного числа соизмеримых по амплитуде гармоник, что представляет серьезную проблему даже для современных супер-компьютеров, если не использовать специальных методов блочного усреднения в пространстве волновых чисел, например спектральную редукцию [37].

Идея изучения гидродинамической турбулентности в частотно-масштабных переменных не является новой. Полосовые фильтры применялись для анализа турбулентных сигналов уже достаточно давно [100]. Был предложен аналог каскадной модели основанный на дискретном вейвлет-разложении [228]. Активное применение самого вейвлет-преобразования к анализу турбулентных сигналов и полей началось с работы М.Фарж [57] и работ [228, 116, 159], связанных с чис-ленным моделированием гидродинамической турбулентности с использованием вейвлетов. Вейвлет-преобразование, осуществляемое в координатном пространстве, представляет собой частный случай фильтрации ]71], и может быть эффективно использовано для выявления когерентных структур [57] и для изучения эффектов связанных локальным распределением диссипации энергии [78].

В этой главе мы используем непрерывное вейвлет-преобразование для вывода системы уравнений, описывающей взаимодействие флуктуаций различных масштабов. Для системы уравнений Навье-Стокса без внешней случайной силы такая постановка уже рассматривалась различными авторами, см. например [116,105]. С точки зрения построения замыкания уравнений для моментов, такой подход аналогичен применению фильтров к уравнениям гидродинамики [71,106].

Отличительной чертой нового подхода, представленного в настоящей диссертации, является применение вейвлет-преобразования в рамках формализма стохастической гидродинамики: преобразованию подвергается как поле скорости, так и случайная сила, вводимая чтобы компенсировать диссипацию энергии. Работая в пространстве вейвлет-образов, вместо пространства самих гидродинамических полей, мы получаем возможность задать случайную силу - вид которой существенен при проведении квантовополевой перенормировки, см. например, [115,1] - таким образом, что в пертурбативном разложении для функции отклика и статистических моментов поля скорости исчезают ультрафиолетовые

82 расходимости [193].

Мы ограничимся случаем однородной изотропной турбулентности и изотропных базисных вейвлетов т/?(х) = V(IXD- В этом случае, вейвлет-преобразование поля скорости u(z, t), вычисленное по отношению к базисному вейвлету ф(х), и соответствующая формула обратного вейвлет преобразования имеют вид

Ua(M = (3.66)

. . 1 Г /х-Ь\ „ ,dadd Ъ /п.

Мы используем вейвлет-преобразование лишь по пространственному аргументу поля скорости, поскольку нуждаемся именно в пространственном разрешении. Используя вейвлет-преобразование в L1, а не в наиболее часто применяемой L2 норме, мы обеспечиваем вейвлет-коэффициентам ua(b,Ј) ту же самую размерность (LT-1), которую имеет само поле скорости и(х). Далее мы будем называть вейвлет-коэффициенты ua(b, t) масштабными компонентами поля скорости от-вечающими масштабу а, а базисный вейвлет ф(х) - анализируюшей функцией, используемой при получении масштабных компонент.

Для практических вычислений, удобно перейти к спектральной форме непрерывного вейвлет-преобразования. После применения преобразования Фурье по пространственному аргументу, выражения для прямого и обратного вейвлет- преобразования (3.66,3.67) принимают вид:

й.(*) = фЩп(к), ВД = [ р-Мак)йа(к), (3.68)

где й(к) = й(к, и) обозначает преобразование Фурье от поля скорости

(Мы используем (d + 1)-мерные обозначения в стиле Минковского: х = (х, і), к = (к, а;).) Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование (3.66) в данном слу-чае можно рассматривать как частотный фильтр, пропускающий гармоники с волновыми числами порядка ^ и локализованные вблизи точки Ь.

Единственное существенное ограничение, накладываемое на базисный вейвлет ф - условие допустимости (1.15), обеспечивающее существование и единственность обратного вейвлет-преобразования. Далее мы будем подразумевать

83

изотропные базисные вейвлеты ф(х) = -г/>((х[) с условием допустимости (1.15). Мы также используем интегрирование лишь по положительной полуоси масштабов (1.16). Таким образом, разложение поле скорости по масштабным компонентам, относительно базисного вейвлета ф, может быть записано в виде

н(х'" = ІГ&І^Єїг hb'i) (з-б9)

Пределы интегрирования /0°° ^ далее опущены.

Подставляя вейвлет-преобразование (3.70) в систему уравнений (3.65), получим систему уравнений для масштабных компонент йаі(к):

dai da2 dd+1q

(-їй + vk2)uai(k) = (J^ JM$a*(k,q,k-q^aij(q)ua2k(k-q)

k,q,k-q) = фЩМцк{к)ф{аіЧ)ф{а2{к-Ч)). (3.71)

Выведем теперь замыкание моментных уравнений для масштабных компонент поля скорости. Для этой цели возьмем уравнение (3.71) и его комплексное сопряжение

(8t, + = (І) / Щ^ІК q,k-q)Saij(q, і')йа2к(k-q,

(3.72)

умножим первое из этих уравнений на ttai(k, t'), произведем суммирование по векторному индексу і и статистическое усреднение ( ) по флуктуациям поля скорости. В результате этой процедуры, мы приходим к системе уравнений

X (йаі(к, tf)Uaij(q, 0«eafc(k-q, t)).

Применив ту же самую процедуру ко второму из уравнений (3.72) и складывая результаты обоих вычислений при совпадающих временах t=t', получим систему

84 уравнений для моментов

х (йаі(к, t)uaij(q, t)ua2k(k-q, t)) + э.с., (3.73)

которая отличается от соответствующей системы для плоских волн лишь наличием дополнительного интегрирования по логарифму масштабов f & (по октавам). Для того, чтобы выразить третьи моменты через вторые в выражении (3.73), подставим в него

ММ = (i)2/-oo^r(k,f-S)M5ra2(k,q,k-q) (3 74)

где G^ao(k,t—s) - функция отклика. Отличие от соответствующего разложения по волновым пакетам [123] состоит в том, что кроме суммирования по векторным индексам появляется интегрирование по логарифмам масштабов f Таким образом, процедура построения статистических замыканий для масштабных компонент полностью аналогична соответствующе процедуре для разложения по плоским волнам.

В нулевом порядке теории возмущений ( т.е. при отсутствии вершины вза-имодействия: М(-) —> 0), функция отклика для не взаимодействующих полей равна

G[bHaao(k s) = 5 Г 6(a-aQ)aQ {t_s]du = _ > (3J5)

J-oo -ш + vк2 2тг

Полная функция отклика для масштабных компонент, как следует из уравнений

(3.72), должна удовлетворять интегро-дифференциальному уравнению

х

Подстановка выражения (3.74) в (3.73) определяет связь между вторыми и тре-

85

тьими моментами масштабных компонент поля скорости: (а , о і 2\ V4 /- п л~ п л\ о f 2 Y fdaida2 ddkx da3da4 ddk2

Й + 2Л )D«.A')».(M)) =2 (д] J X

da.c

x- a0

2n ft

^M^°2(k,k1,k-k1)(tiai(k)0uaij(k1)0 / dsGSa»(k-klli>5)x хМ^/^Чк-кь k2, к - ki - к2)йазг(к2, s)ua4f(k-ki -k2, s)> + э.с.(3.76)

Аналогичным образом, моменты четвертого порядка (ииии), согласно теореме Вика, могут быть представлены ввиде суммы всех соответствующих произведений вторых моментов (ии)(ии).